¿Es este comportamiento de la función continua coherente con ZFC.

Question

Tengo un axioma, basado en cómo funcionan las cardinalidades finitas. Como sabemos, todo ordinal puede escribirse como la suma de un único ordinal límite $L$ (donde $0$ es un axioma ordinal límite a efectos de este axioma) y un único número natural $n$ . Mi axioma es que $2^{\aleph_{L+n}}=\aleph_{L + 2^n}$ donde $\aleph$ es la de Cantor $\aleph$ función de cardinalidad.

Mi pregunta es, ¿es este axioma coherente con ZFC?

Answer 1

Sí. Esto es coherente.

Recall Teorema de Easton que si empezamos con un modelo de $\sf ZFC+GCH$ y $F$ es una función definida sobre cardinales regulares, tal que $\alpha\leq\beta\implies F(\alpha)\leq F(\beta)$ y $\operatorname{cf}(\alpha)<\operatorname{cf}(F(\alpha))$ entonces existe una extensión [clase-]genérica del universo tal que $2^\alpha=F(\alpha)$ .

La suerte quiso que $\alpha$ es un cardinal regular, digamos $\aleph_{\delta+n}$ donde $\delta$ es límite ( $n$ puede o no ser $0$ ), entonces $F(\aleph_{\delta+n})=\aleph_{\delta+2^n}$ cumple las condiciones necesarias. Así que podemos conseguir que para cardinales regulares.

Pero no todos los cardenales son regulares. ¿Y los cardenales singulares? El teorema de Easton nos da un modelo en el que para un cardinal singular $\lambda$ , $2^\lambda$ es el menor valor posible. En el caso de $F$ como tenemos aquí, ya que partimos de un modelo de $\sf GCH$ el resultado es un modelo en el que los cardinales límite siguen siendo cardinales límite fuertes. Así que el valor mínimo posible es $\lambda^+$ . Pero la suerte quiso que $\lambda$ es singular, entonces para algún ordinal límite $\delta$ , $\lambda=\aleph_{\delta+0}$ y $\lambda^+=\aleph_{\delta+1}=\aleph_{\delta+2^0}$ .

Así obtenemos un modelo como el deseado.