$B,N,H$ sean subgrupos de $G$ ¿es cierto que $ \langle B \cap H, N \cap H \rangle = \langle B,N \rangle \cap H $ ?

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, sea $B,N,H$ sean subgrupos de $G$ . Creo que $$ \langle B \cap H, N \cap H \rangle = \langle B,N \rangle \cap H $$ pero no encuentro una prueba satisfactoria. Creo que este puede ser útil. He intentado utilizarlo pero no he conseguido escribir una prueba 100% satisfactoria. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es falso. Sea $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , dejemos que $B=\langle (1,0)\rangle$ , $N=\langle (0,1)\rangle$ y que $H=\langle(1,1)\rangle$ . Entonces $$\langle B\cap H,N\cap H\rangle=\langle \{(0,0)\},\{(0,0)\}\rangle=\{(0,0)\}$$ pero $$\langle B,N\rangle \cap H= G\cap H=H=\{(0,0),(1,1)\}$$

Answer 2

Esto es falso. Sea G el grupo no abeliano de orden 6. Sean B,N subgrupos Sylow 2 distintos de G, y sea H el subgrupo Sylow 3 de G. Entonces B∩H=N∩H=1, pero ⟨B,N⟩∩H=G∩H =H.

Una afirmación relacionada y verdadera se denomina ley modular de Dedekind.