¿Qué podemos hacer con un espacio de moduli grueso que no podamos hacer con una pila de moduli DM?

Question

Hace un par de semanas asistí a una charla sobre el teorema de Keel-Mori relativo a la existencia de espacios de moduli gruesos para los apilamientos de Deligne-Mumford con inercia finita. He aquí algunas preguntas que me he estado planteando desde entonces: ¿Cuáles son algunas aplicaciones de este teorema? ¿Qué importancia tiene que una pila DM tenga un espacio grueso? ¿Qué ejemplos hay de cosas que podamos hacer con el espacio grueso que quizá no podamos hacer con la pila? Dado (por ejemplo) un problema de módulos, ¿qué nos dice la existencia de un espacio de módulos grueso que no nos diga la existencia de una pila de módulos de DM?

Dado que el espacio grueso, si existe, está probablemente determinado por la pila (¿lo está?), probablemente debería preguntar en su lugar: ¿Qué podemos hacer más fácil o directamente con un espacio grueso que con una pila?

He aquí una mala respuesta: Si nos interesa la teoría de intersecciones (como en la teoría de Gromov-Witten, por ejemplo), entonces la existencia del espacio grueso puede ayudarnos a eludir tener que desarrollar una teoría de intersecciones para las pilas. Pero está claro que es una respuesta bastante floja.

Answer 1

Un ejemplo es el teorema de Deligne sobre la existencia de una buena noción de cociente $X/G$ de un espacio algebraico separado $X$ bajo la acción de un grupo finito $G$ o relativizaciones o generalizaciones (con no constantes $G$ ) debido a D. Rydh. Véase el teorema 3.1.13 de mi artículo con Lieblich y Olsson sobre la compactificación de Nagata para espacios algebraicos para el enunciado y la demostración del resultado de Deligne en una situación relativa, y el teorema 5.4 del artículo de Rydh "Existence of quotients..." en arxiv o su página web para su generalización.

Nótese que en lo anterior no se mencionan las pilas de DM, ¡pero aparecen en la prueba! El mecanismo para construir $X/G$ (digamos en la situación de Deligne o su forma relativa) es demostrar la existencia de un espacio grueso para la pila DM $[X/G]$ a través de Keel-Mori y mostrar que tiene muchas buenas propiedades para que sea una noción razonable de cociente. Tales cocientes $X/G$ son muy útiles cuando $X$ es un esquema (pero $X/G$ es "sólo" un espacio algebraico), como para reducir algunos problemas de los espacios algebraicos noetherianos normales al caso del esquema; véase la sección 2.3 del documento de C-L-O. Estoy seguro de que hay numerosos lugares en los que los espacios gruesos son convenientes para hacer otros tipos de pasos de reducción en las demostraciones de teoremas generales, como reducir un problema para ciertas pilas de DM al caso de los espacios algebraicos.

Además, Mazur utilizó un profundo estudio del esquema de módulos gruesos asociado a la pila DM $X_0(p)$ en su estudio pionero sobre la torsión y las isogenias racionales entre curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$ (y estas curvas modulares aparecen en muchos otros lugares). Pero esos espacios gruesos específicos son esquemas y pueden construirse y estudiarse en términos más concretos sin necesidad de que sean espacios gruesos en el sentido fuerte del teorema de Keel-Mori, por lo que creo que el ejemplo del teorema de Deligne anterior es un ejemplo "mejor".

Answer 2

Me permito sugerir que se reformule la pregunta de modo que diga algo como: ¿Existe algún resultado en la teoría de las pilas que dependa de la existencia de un espacio de moduli grueso subyacente?

Answer 3

Respecto al comentario filosófico de Borger. Las funciones regulares y las secciones de haces de líneas geométricas trazan mapas desde un espacio de origen a un espacio de destino. Esta parece una buena razón filosófica para que los espacios de moduli gruesos sean importantes y, además, su estudio requiere menos teoría. Además, si se piensa en problemas que implican una reducción semiestable o potencialmente buena, las acciones de monodromía sobre secciones de una cubierta etale de la base (por ejemplo, los n puntos de torsión de una variedad abeliana) suelen ser los objetos centrales de estudio. Por tanto, aquí se da una especie de principio dual: el esquema de grupo de n puntos de torsión mapea a la base; pero sus secciones mapean desde la base y forman parte del functor de puntos. Y el functor de puntos determina el esquema original. Supongo que el lema es "las secciones importan".