¿Cómo motivas una definición precisa a un estudiante sin mucha experiencia en pruebas?

Question

Cuando se presentan a los estudiantes definiciones altamente técnicas para conceptos aparentemente intuitivos (por ejemplo, homotopía, continuidad), ¿cómo se motiva la necesidad de la definición? Por un lado, se esperaría que los estudiantes tengan la madurez matemática suficiente para apreciar una definición rigurosa como la formulación epsilon-delta de la continuidad. Pero si no lo tienen (por ejemplo, epsilon-delta surge en su primera clase realmente basada en pruebas), ¿hay cuentos de advertencia estándar que sean especialmente convincentes para transmitir el valor de la definición técnica?

(Contexto: Estoy enseñando un curso para estudiantes muchos de los cuales no han tomado clases más allá del álgebra lineal. El curso sirve como introducción a las pruebas, y una parte del plan de estudios es la continuidad; para algunos de los estudiantes, este es el único lugar donde encontrarán epsilon-delta.)

Answer 1

Una vez le pedí a mi clase de análisis real de honorarios que definiera el concepto de un número entero a un niño inteligente hipotético que ya estaba perfectamente familiarizado con los números naturales y las operaciones que se podían realizar con ellos, pero aún no había sido expuesto a los números negativos. La respuesta fue tanto entusiasta como caótica; recuerdo, por ejemplo, a un estudiante dando una heurística para explicar por qué el producto de dos números negativos era positivo, lo cual era interesante pero no directamente útil para el problema en cuestión.

De todas formas, la pregunta cumplió su propósito; cuando luego introduje una definición rigurosa de los números enteros (como diferencias formales de números naturales, divididos por equivalencia), la necesidad de una definición formal se hizo mucho más clara por la falta de una manera "obvia" de hacerlo por otros medios. Y creo que también tuvo un efecto residual en motivar las definiciones más avanzadas con epsilon-delta que surgieron más tarde en el curso.

Otro ejemplo que he visto, a nivel de secundaria temprana, es desafiar a los estudiantes a crear una definición a prueba de balas de un rectángulo. Esto es notablemente difícil de hacer para los estudiantes sin formación en matemáticas avanzadas; no solo se tienen que tratar con casos degenerados (por ejemplo, segmentos de línea), sino que a menudo se omiten propiedades cruciales (por ejemplo, que los cuatro lados de un rectángulo tienen que estar conectados en los vértices). También se pueden generar debates interesantes, como si se debería considerar un cuadrado como un rectángulo.

Answer 2

Creo que una excelente manera de motivar definiciones precisas es recorrer una secuencia de definiciones más débiles/menos precisas, y para cada una de ellas construir un contraejemplo explícito que lleve a un fallo de cualquier propiedad que a menudo te interese deducir en la clase.

Tal vez también como un ejercicio adicional en las tareas, tener trabajos similares (aunque con algún tipo de mención de que si el contraejemplo se puede encontrar en Wikipedia, la explicación de por qué falla debe ser especialmente rigurosa), y luego después de que se recojan cada una de esas tareas, recorrer algunos de los contraejemplos para estas preguntas.

Answer 3

Cauchy publicó una "prueba" de que una sucesión convergente de funciones continuas converge a una función continua, basándose en una idea de continuidad no completamente rigurosa. Esto es especialmente notable dada la contribución de Cauchy al dar definiciones precisas aquí, y también dado lo fácil que es pensar en contraejemplos.

La discusión en el siguiente enlace puede ser relevante: http://www.math.usma.edu/people/Rickey/hm/CalcNotes/CauchyWrgPr.pdf

Answer 4

Me gusta explicar que sin definiciones, ni siquiera saben lo que creen que ya saben. Por ejemplo: ¿Cuál es la definición de $2^3$? $2$ veces $2$ veces $2$. Correcto. ¿Qué es $2^{-3}$? $1/2^3$, correcto. ¿Qué es $2^{1/3}$? Raíz $3^{rd}$ de $2$, correcto. ¿Qué es $2^{\sqrt{2}}$? ¿Nadie? ¿Qué significa incluso?

Answer 5

El libro de Sipser Introducción a la teoría de la computación dedica algo de tiempo a motivar la necesidad de definiciones precisas, ya que está dirigido a una audiencia de ciencias de la computación que puede no tener experiencia con demostraciones. Aquí está lo que tiene que decir antes de la introducción de la primera definición realmente formal en el libro en la página 35:

En la sección anterior usamos diagramas de estados para introducir autómatas finitos. Ahora definimos formalmente los autómatas finitos. Aunque los diagramas de estados son más fáciles de entender intuitivamente, también necesitamos la definición formal, por dos razones específicas.

Primero, una definición formal es precisa [énfasis añadido]. Resuelve cualquier incertidumbre sobre lo que está permitido en un autómata finito. Si tenías dudas sobre si a los autómatas finitos se les permitía tener 0 estados de aceptación o si debían tener exactamente una transición saliendo de cada estado para cada símbolo de entrada posible, podrías consultar la definición formal y verificar que la respuesta es sí en ambos casos. Segundo, una definición formal proporciona notación [énfasis añadido]. Una buena notación te ayuda a pensar y expresar tus pensamientos claramente.

El lenguaje de una definición formal es algo arcano, tiene cierta similitud con el lenguaje de un documento legal. Ambos necesitan ser precisos, y cada detalle debe ser especificado.

Para un ejemplo más matemático, tal vez quieras dedicar algo de tiempo a hablar sobre lo difícil que es llegar a una definición formal de un poliedro de tal forma que la fórmula de Euler sea realmente verdadera.