Problema interesante que involucra péndulo, colisiones y cargas eléctricas.

Question

Este problema fue inventado por el profesor de física en el colegio comunitario cerca de mí, que lo utilizó en un examen final pasado:

Un péndulo consta de una varilla sin masa de longitud L y una bola conductora de masa m en la parte inferior de la varilla. Una carga de +q se coloca en esta bola y el péndulo se mantiene en una posición desplazada theta grados a la izquierda de la vertical. Un segundo péndulo idéntico al primero (excepto que una carga de -q se coloca en la bola) se monta desde el mismo punto de pivote y se mantiene en una posición desplazada theta grados a la derecha de la vertical. Luego, las dos bolas se liberan desde el reposo al mismo tiempo. Las dos bolas chocan sin deformación (es decir, colisión elástica) y las dos cargas se neutralizan. La pregunta es, ¿a qué ángulo están los péndulos con respecto a la vertical cuando alcanzan su altura máxima después de la colisión?

El profesor publicó esta solución (con la que no estoy de acuerdo):

Permita que $y_i$ e $y_f$ sean las alturas de las bolas del péndulo sobre el suelo en sus posiciones inicial y final (siendo final la altura máxima alcanzada) y permita que r sea la distancia inicial entre los dos péndulos. El trabajo requerido para ensamblar las dos cargas desde el infinito es $k(+q)(-q)/r = -k q^2/r$. Así que la energía inicial total es $2mgy_i – kq^2/r$ y la energía final total es $2mgy_f$ (ya que ya no hay carga). Dado que las energías iniciales y finales deben ser iguales, vemos que $y_f < y_i$, un resultado que el profesor admite que no es intuitivamente obvio. Luego procede a calcular el ángulo final (una operación con la que no te aburriré).

No tengo formación en física aparte del curso de física de primer año que tomé en la universidad hace 45 años, pero aún así este resultado no me pareció correcto. Mientras las bolas caen, se aceleran más rápido de lo que lo harían solo con la gravedad y esta energía tiene que ir a algún lugar. Así que concluyo que la posición final será más alta que la posición inicial.

Intenté explicar en un correo electrónico al profesor por qué su cálculo no era correcto. Sugiero que era incorrecto tratar el campo E como electrostático como lo hizo, porque la rápida neutralización de carga viola la suposición electrostática de cargas estacionarias o lentamente móviles. En electrostática tenemos independencia de la ruta, lo que significa que el trabajo requerido para mover una colección de partículas desde la posición A hasta la posición B es el negativo del trabajo requerido para moverlas de regreso a la posición A. Si consideramos que A es la posición inicial del péndulo y B es cualquier posición inferior, hay una fuerza eléctrica de A hacia B, pero en la dirección opuesta no hay fuerza eléctrica porque las cargas se neutralizaron. Así que no tenemos independencia de la ruta y no podemos elegir una referencia de cero arbitraria (como el infinito en este caso).

También sugiero que ni siquiera podemos calcular la altura final (o el ángulo) con la información dada, porque no se especificó el tamaño de las bolas. Bolas más pequeñas significarían que las dos cargas estarían más cerca antes de neutralizarse y, por lo tanto, se ganaría más energía en el camino hacia abajo.

Aparentemente, el profesor no está de acuerdo con mis objeciones y se mantiene firme en su creencia de que su respuesta original es correcta. Espero recibir algunas respuestas que o bien refuercen mi posición o señalen el error de mis formas.

También tenía algunas preocupaciones adicionales sobre la pregunta que ni siquiera mencioné al profesor. Parece que recordar que una carga acelerada emite energía, por lo que se perderá algo de energía a medida que las dos cargas se aceleran hacia abajo hacia la colisión. No me preocupa tanto ese aspecto, porque las bolas seguirán ganando energía global debido a la fuerza eléctrica. Sin embargo, ¿qué pasa con la neutralización de la carga? Una colisión elástica es una idealización que implica que las bolas solo se tocan durante un tiempo infinitesimal, lo que significa que las cargas tienen que neutralizarse en un tiempo prácticamente cero. ¿Las cargas moviéndose tan rápido producirían un campo B infinito? ¿Es una colisión elástica una idealización práctica en esta situación? En un ejemplo del mundo real de una construcción así, ¿sería la pérdida de energía debido a la neutralización lo suficientemente pequeña como para ignorarla?

Answer 1

El resultado final de tu profesor es incorrecto, y tu razonamiento sobre la energía es en gran medida correcto. Tu profesor está tomando cargas puntuales desde el infinito y juntándolas, pero está descuidando considerar la energía que se necesita para ensamblar una carga puntual. Esto es extremadamente problemático. En primer lugar, se necesita una energía infinita para ensamblar una carga puntual. Prueba:

Considera una esfera metálica aislada. Esta tendrá cierta capacitancia. Haciendo referencia a las expresiones en esta página capacitancia de esferas metálicas

La energía de la esfera es

$U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}qV$

y el voltaje en una esfera está relacionado tanto con la carga como con el radio de la esfera

$q=RV/k$

Para ensamblar una carga puntual, la carga $q$ debería ser constante mientras que el radio de la esfera $R$ tiende a cero. La única forma en que esto es posible es si el voltaje tiende a infinito. Mirando la expresión para la energía, es claro que ensamblar una carga puntual requiere de una energía infinita. En el tratamiento del problema por parte de tu profesor, dos cargas puntuales se eliminan entre sí. Esto liberaría una energía infinita... evidentemente esto es problemático.

Para corregir el problema de tu profesor, debes considerar tanto la energía entre las esferas, así como la energía necesaria para ensamblar las cargas en una esfera. La energía exacta es un problema complicado, pero para esferas pequeñas con una gran separación entre ellas, podemos utilizar una expresión aproximada:

$U=kq^2/R-kq^2/r$

Esta es la energía negativa que tu profesor identificó correctamente, junto con la energía de las esferas individuales. Esto siempre será positivo.

Como resultado de esta energía adicional, la altura final de los dos péndulos será mayor que la altura inicial.

Tienes razón en que no puedes predecir la altura final de las bolas sin saber el tamaño de las bolas. También tienes razón en que las bolas más pequeñas tienen más energía. Aunque la situación no es estática, cae bien dentro de una aproximación estática o cuasiestática, de manera que puedes utilizar ecuaciones estáticas para predecir la energía de las esferas y la dinámica de la situación. Cualquier tipo de radiación es despreciable, al igual que las fuerzas magnéticas entre las cargas. Es un resultado bastante estándar que las cargas tienen que estar relativamente cerca de la velocidad de la luz para tener fuerzas magnéticas no despreciables entre ellas, en comparación con las fuerzas eléctricas.

Answer 2

También sugerí que ni siquiera podemos calcular la altura final (o ángulo) con la información dada porque el tamaño de las pelotas no fue especificado. Pelotas más pequeñas significarían que las dos cargas se acercarían más antes de neutralizarse y así se ganaría más energía en el camino hacia abajo.

Este parece ser el mayor problema. No tengo mucho problema en ignorar los problemas no estáticos aquí. Pero la distancia sobre la cual las cargas interactúan no puede ser ignorada. Simplemente eliminarlas y su energía parece incorrecto.

Para calcular la altura del rebote modelaría la caída y el rebote como dos fases separadas. A medida que las pelotas se acercan, la energía sería liberada tanto de PE gravitacional como de PE elástica, pero al rebotar, esa energía solo iría a la PE gravitacional.

Como mencionas, el punto de rebote no importa para el cálculo de PE gravitacional, pero es esencial para recolectar la PE elástica liberada.

Answer 3

Un argumento más simple en contra de la posición de tu profesor

1. En el momento de la colisión, las esferas cargadas se mueven más rápido que esferas similares no cargadas debido a la atracción eléctrica.
2. Después de la colisión y neutralización, las esferas rebotarán con la misma velocidad más rápida debido a la elasticidad de la colisión.
3. Sin atracción eléctrica para impedir su ascenso, las esferas alcanzarán una altura mayor debido a su mayor velocidad inicial.

Ahora, ¡vamos a resolver este problema para que puedas ver mi hermosa obra de arte!

Primero, la configuración:

En el diagrama, $ r $ es la distancia inicial entre los centros de las esferas, $ r_s $ es el radio de cada esfera, $ h_i $ es la altura inicial de las esferas, $ m $ es la masa de cada esfera, y $ q $ es la carga en cada esfera. Es un poco difícil de ver, pero las esferas tienen cargas opuestas.

La energía total en el sistema en sus diversos estados se dará por $$ E = GPE + EPE + KE $$ con energía potencial gravitatoria $ GPE $, energía potencial eléctrica $ EPE $ y energía cinética $ KE $. Inicialmente, la energía total es $$ E_0 = 2mgh_i - \frac{kq^2}{r}.$$

A continuación, las esferas descienden y colisionan. Justo antes de la colisión, la situación es así:

Las esferas están en su punto más bajo pero aún no se han neutralizado. La energía del sistema está dada por $$ E_1 = -\frac{kq^2}{2r_s} + 2\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = E_0.$$ Dado que las fuerzas gravitacionales y eléctricas son conservativas, la energía se conserva ($ E_1 = E_0 $). Esta ecuación es algo inexacta porque las cargas en cada esfera se moverán hacia la otra ya que las esferas están conduciendo. Esto significa que la distancia $ 2r_s $ es una sobreestimación y las esferas tendrán una velocidad mayor $ v $ que la dada en esta ecuación. Sin embargo, eso no cambia el resultado final.

A continuación, las esferas cargadas se neutralizan entre sí.

La energía potencial eléctrica desaparece calentando las esferas debido a la corriente eléctrica generada. La energía total es ahora puramente cinética: $$ E_2 = mv^2.$$

Finalmente, las esferas rebota y alcanzan su altura máxima $ h_f $.

La energía total es ahora puramente energía potencial gravitatoria y se conserva desde el paso anterior: $$ E_3 = 2mgh_f = E_2.$$

Ahora, para encontrar la altura final: $$ E_0 = E_1 $$ $$ 2mgh_i - \frac{kq^2}{r} = -\frac{kq^2}{2r_s} + mv^2 $$ $$ mv^2 = 2mgh_i - kq^2\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right) $$ Dejaré la ecuación así para mayor conveniencia más tarde.

A continuación, las ecuaciones neutralizadas: $$ E_2 = E_3 $$ $$ mv^2 = 2mgh_f $$ $$ h_f = \frac{mv^2}{2mg} $$

Sustituyendo $ mv^2 $ de arriba: $$ h_f = \frac{2mgh_i - kq^2\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right)}{2mg} $$ $$ h_f = h_i - \frac{kq^2}{2mg}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right) $$

Ahora, $ r > 2r_s $ ya que las esferas no pueden superponerse. Esto significa que la expresión entre paréntesis es negativa: $$ r > 2r_s \implies \frac{1}{r} < \frac{1}{r_s} \implies \frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s} < 0. $$ Por lo tanto, la altura final será mayor que la altura inicial.

Cuando dije antes que la ecuación después de la imagen de la colisión era inexacta, la distancia efectiva entre las esferas sería menor que $ 2r_s $, lo que resultaría en una menor energía potencial eléctrica, una energía cinética mayor y, por lo tanto, una altura final más alta.

En el límite de que las esferas sean mucho más pequeñas que la distancia entre ellas, $$ r_s \ll r \implies h_f = h_i + \frac{kq^2}{4mgr_s} $$

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Sobre tus otras preocupaciones:

• La pérdida de energía de cargas aceleradas es minúscula cuando las cargas se mueven mucho más lentas que la velocidad de la luz. Busca la radiación sincrotrón.
• El campo magnético generado por la corriente instantánea se puede ignorar ya que las esferas no se están moviendo en ese instante, por lo que no se generan fuerzas adicionales (¡hurra por vacas esféricas en planos sin fricción colisionando elásticamente en el vacío!).

Answer 4

Estoy cambiando los nombres de las variables para evitar subíndices, por lo que elegí r para el radio de las bolas y d como la distancia entre las dos bolas en su posición inicial. Tomando un enfoque simple de calcular la energía potencial inicial, primero consideré el trabajo requerido para ensamblar una única carga aislada de carga q:

$$dw = V dQ = \frac {kQ}{r} dQ$$ Entonces el trabajo total para ensamblar la carga es $$w = \int_0^q \frac {kQ}{r} dQ = \frac {kq^2}{2r}$$ Tenemos que ensamblar ambas cargas, y luego llevarlas de lejos a una distancia d entre sí, dando la energía potencial total: $$U = kq^2(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}) $$ Si entiendo la notación de David, esto es lo mismo que la aproximación que David sugirió para lo que en realidad es un problema complicado. A partir de esto obtenemos la respuesta al problema del péndulo: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{mg} (\frac{1}{r} - \frac{1}{d}) $$ Dado que d realmente no puede ser más pequeño que r, $\Delta h$ es positiva y de hecho la posición final es más alta, como parece estar de acuerdo todo el mundo.

Parece razonable asumir $d >> r$ lo que simplifica el resultado agradablemente: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{mgr} $$ Sin embargo, Mark H usando un método diferente (que me parece razonable) llega a: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{4mgr} $$ Dado que estos dos resultados difieren por un factor de 4, ambos no pueden ser correctos. ¿Alguien puede señalar qué método (o quizás ambos) es incorrecto?