Interesante problema de péndulo, colisiones y cargas eléctricas

Question

Este problema lo inventó el profesor de física del colegio comunitario que tengo cerca y lo utilizó en un examen final pasado:

Un péndulo consiste en una varilla sin masa de longitud L y una bola conductora de masa m en la parte inferior de la varilla. En esta bola se coloca una carga de +q y el péndulo se mantiene en una posición desplazada theta grados a la izquierda de la vertical. Un segundo péndulo idéntico al primero (excepto que se coloca una carga de -q en la bola) se monta desde el mismo punto de giro y se mantiene en una posición desplazada theta grados a la derecha de la vertical. A continuación, las dos bolas se sueltan del reposo al mismo tiempo. Las dos bolas chocan sin deformación (es decir, colisión elástica) y las dos cargas se neutralizan. La pregunta es, ¿qué ángulo forman los péndulos con respecto a la vertical cuando alcanzan su altura máxima después de la colisión?

El profesor publicó esta solución (con la que no estoy de acuerdo):

Sea $y_i$ y $y_f$ son las alturas de las bolas del péndulo sobre el suelo en sus posiciones inicial y final (siendo final la altura máxima alcanzada) y sea r la distancia inicial entre los dos péndulos. El trabajo necesario para reunir las dos cargas desde el infinito es $k(+q)(-q)/r = -k q^2/r$ . Por tanto, la energía inicial total es $2mgy_i – kq^2/r$ y la energía final total es $2mgy_f$ (puesto que ya no se cobra). Como las energías inicial y final deben ser iguales vemos que $y_f < y_i$ un resultado que el profesor admite que no es intuitivamente obvio. Luego pasa a calcular el ángulo final (un cálculo con el que no les aburriré).

No tengo más formación en física que el primer curso de física que hice en la universidad hace 45 años, pero aun así este resultado no me gustó nada. Mientras las bolas caen, se aceleran más rápido de lo que lo harían sólo con la gravedad, y esta energía tiene que ir a alguna parte. Así que concluyo que la posición final será superior a la inicial.

Intenté explicar por correo electrónico al profesor por qué su cálculo no era correcto. Sugerí que era incorrecto tratar el campo E como electrostático porque la rápida neutralización de la carga viola la suposición electrostática de cargas estacionarias o que se mueven lentamente. En electrostática tenemos independencia de trayectoria, lo que significa que el trabajo requerido para mover una colección de partículas de la posición A a la posición B es el negativo del trabajo requerido para moverlas de vuelta a la posición A. Si consideramos A como la posición inicial del péndulo y B como cualquier posición inferior, hay una fuerza eléctrica de A a B, pero en la dirección inversa no hay fuerza eléctrica porque las cargas se han neutralizado. Así que no tenemos independencia de trayectoria y no podemos elegir una referencia cero arbitraria (como el infinito en este caso).

También sugerí que ni siquiera podemos calcular la altura final (o el ángulo) con la información dada porque no se especificó el tamaño de las bolas. Unas bolas más pequeñas significarían que las dos cargas se acercan antes de neutralizarse y, por tanto, se ganaría más energía en el descenso.

Al parecer, el profesor no está de acuerdo con mis objeciones y sigue creyendo que su respuesta original es correcta. Espero recibir alguna respuesta que consolide mi posición o me haga ver lo equivocado de mi postura.

Además, tenía otras dudas sobre la pregunta que ni siquiera mencioné al profesor. Creo recordar que una carga que acelera irradia energía, por lo que se perderá algo de energía al acelerar las dos cargas hacia la colisión. Eso no me preocupa tanto, porque las bolas seguirán ganando energía en general debido a la fuerza eléctrica. Quizás la aceleración sea lo suficientemente pequeña como para no tener en cuenta esta pérdida de energía en la práctica. Sin embargo, ¿qué ocurre con la neutralización de la carga? Una colisión elástica es una idealización que implica que las bolas sólo se tocan durante un tiempo infinitesimal, lo que significa que las cargas tienen que neutralizarse en un tiempo esencialmente cero. ¿Las cargas que se mueven tan rápido producirían un campo B infinito? ¿Es una colisión elástica una idealización práctica en esta situación? En un ejemplo real de este tipo de construcción, ¿sería la pérdida de energía debida a la neutralización lo suficientemente pequeña como para ignorarla?

Answer 1

El resultado final de tu profesor es incorrecto, y tu razonamiento sobre la energía es en gran medida correcto. Tu profesor está tomando cargas puntuales del infinito y juntándolas, pero no tiene en cuenta la energía que se necesita para juntar una carga puntual. Esto es extremadamente problemático. En primer lugar, se necesita infinita energía para ensamblar una carga puntual. Prueba:

Consideremos una esfera metálica aislada. Ésta tendrá cierta capacitancia. Haciendo referencia a las expresiones de esta página capacitancia de las esferas metálicas

La energía de la esfera es

$U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}qV$

y la tensión en una esfera está relacionada tanto con la carga como con el radio de la esfera

$q=RV/k$

Para reunir una carga puntual, la carga $q$ debe ser constante mientras que el radio de la esfera $R$ llega a cero. La única forma de que esto sea posible es que la tensión llegue a infinito. Mirando la expresión para la energía, está claro que ensamblar una carga puntual requiere energía infinita. En el tratamiento del problema por parte de tus profesores, dos cargas puntuales se eliminan a sí mismas. Esto liberaría energía infinita... evidentemente esto es problemático.

Para solucionar el problema de tu profesor, tienes que considerar tanto la energía entre las esferas, como la energía necesaria para reunir las cargas en una esfera. La energía exacta es una problema complicado pero para esferas pequeñas con una gran separación entre ellas, podemos utilizar una expresión aproximada:

$U=kq^2/R-kq^2/r$

Esta es la energía negativa que tu profesor identificó correctamente, junto con la energía de las esferas individuales. Siempre será positiva.

Como resultado de esta energía adicional, la altura final de los dos péndulos será mayor que la altura inicial.

Tienes razón en que no se puede predecir la altura final de las bolas sin conocer su tamaño. También tienes razón en que las bolas más pequeñas tienen más energía. Aunque la situación no es estática, entra dentro de una aproximación estática o cuasiestática, de modo que se pueden utilizar ecuaciones estáticas para predecir la energía de las esferas y la dinámica de la situación. Cualquier tipo de radiación es despreciable, al igual que las fuerzas magnéticas entre las cargas. Es un resultado bastante estándar que las cargas tienen que estar relativamente cerca de la velocidad de la luz para tener fuerzas magnéticas no despreciables entre ellas, en comparación con las fuerzas eléctricas.

Answer 2

También sugerí que ni siquiera podemos calcular la altura final (o el ángulo) con la información dada porque no se especificó el tamaño de las bolas. Unas bolas más pequeñas significarían que las dos cargas se acercan antes de neutralizarse y, por tanto, se ganaría más energía en el descenso.

Este parece ser el mayor problema. No tengo mucho problema en ignorar las cuestiones no estáticas aquí. Pero no se puede ignorar la distancia a la que interactúan las cargas. Eliminarlas y su energía parece incorrecto.

Para calcular la altura del rebote modelaría la caída y el rebote como dos fases separadas. A medida que las bolas se acercan, se liberaría energía tanto de GPE como de EPE, pero a medida que las bolas rebotan, esa energía iría sólo a GPE.

Como mencionas, el punto de rebote no importa para el cálculo del GPE, pero es esencial para recoger el EPE liberado.

Answer 3

Un argumento más sencillo contra la postura de tu profesor

1. En el momento de la colisión, las esferas cargadas se mueven más rápido que las esferas similares no cargadas debido a la atracción eléctrica.
2. Tras la colisión y la neutralización, las esferas rebotarán con la misma velocidad más rápida debido a la elasticidad de la colisión.
3. Sin atracción eléctrica que impida su ascenso, las esferas alcanzarán una mayor altura debido a su mayor velocidad inicial.

Ahora tengo que solucionar este problema para que podáis ver mis preciosas obras de arte.

Primero, el montaje:

En el diagrama, $r$ es la distancia inicial entre los centros de las esferas, $r_s$ es el radio de cada esfera, $h_i$ es la altura inicial de las esferas, $m$ es la masa de cada esfera, y $q$ es la carga de cada esfera. Es un poco difícil de ver, pero las esferas tienen cargas opuestas.

La energía total del sistema en sus distintos estados vendrá dada por $$E = GPE + EPE + KE$$ con energía potencial gravitatoria $GPE$ energía potencial eléctrica $EPE$ y la energía cinética $KE$ . Inicialmente, la energía total es $$E_0 = 2mgh_i - \frac{kq^2}{r}.$$

A continuación, las esferas se balancean hacia abajo y chocan. Justo antes de la colisión, la situación es la siguiente:

Las esferas están en su punto más bajo, pero aún no se han neutralizado. La energía del sistema viene dada por $$E_1 = -\frac{kq^2}{2r_s} + 2\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = E_0.$$ Como las fuerzas gravitatorias y eléctricas son conservativas, la energía se conserva ( $E_1 = E_0$ ). Esta ecuación es algo inexacta porque las cargas de cada esfera se moverán hacia la otra, ya que las esferas son conductoras. Esto significa que la distancia $2r_s$ es una sobreestimación y las esferas tendrán una velocidad mayor $v$ que la dada en esta ecuación. Sin embargo, eso no cambia el resultado final.

A continuación, las esferas cargadas se neutralizan mutuamente.

La energía potencial eléctrica desaparece al calentar las esferas debido a la corriente eléctrica generada. La energía total es ahora puramente cinética: $$E_2 = mv^2.$$

Finalmente, las esferas rebotan y alcanzan su altura máxima $h_f$ .

La energía total es ahora puramente energía potencial gravitatoria y se conserva desde el paso anterior: $$E_3 = 2mgh_f = E_2.$$

Ahora hay que encontrar la altura final: $$E_0 = E_1$$ $$2mgh_i - \frac{kq^2}{r} = -\frac{kq^2}{2r_s} + mv^2$$ $$mv^2 = 2mgh_i - kq^2\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right)$$ Dejaré la ecuación así para mayor comodidad posterior.

A continuación, las ecuaciones neutralizadas: $$E_2 = E_3$$ $$mv^2 = 2mgh_f$$ $$h_f = \frac{mv^2}{2mg}$$

Sustituyendo $mv^2$ desde arriba: $$h_f = \frac{2mgh_i - kq^2\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right)}{2mg}$$ $$h_f = h_i - \frac{kq^2}{2mg}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s}\right)$$

Ahora $r > 2r_s$ ya que las esferas no pueden superponerse. Esto significa que la expresión entre paréntesis es negativa: $$r > 2r_s \implies \frac{1}{r} < \frac{1}{r_s} \implies \frac{1}{r} - \frac{1}{2r_s} < 0.$$ Por lo tanto, la altura final será mayor que la altura inicial.

Cuando dije más arriba que la ecuación después de la imagen de colisión era inexacta, la distancia efectiva entre las esferas sería menor que $2r_s$ , lo que daría lugar a una menor energía potencial eléctrica, por tanto a una mayor energía cinética, y por tanto a una mayor altura final.

En el límite de que las esferas sean mucho más pequeñas que la distancia entre ellas, $$r_s \ll r \implies h_f = h_i + \frac{kq^2}{4mgr_s}$$

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Sobre tus otras preocupaciones:

• La pérdida de energía al acelerar las cargas es ínfima cuando éstas se mueven mucho más despacio que la velocidad de la luz. Busca radiación sincrotrón.
• El campo magnético generado por la corriente instantánea puede ignorarse, ya que las esferas no se mueven en ese instante, por lo que no se generan fuerzas adicionales (¡hurra por las vacas esféricas en planos sin fricción que colisionan elásticamente en el vacío!)

Answer 4

Estoy cambiando los nombres de las variables para evitar subíndices, así que elegí r para el radio de las bolas y d como la distancia entre las dos bolas en su posición inicial. Para calcular la energía potencial inicial, he considerado primero el trabajo necesario para reunir una sola carga aislada de carga q:

$$dw = V dQ = \frac {kQ}{r} dQ$$ Así que el trabajo total para montar la carga es $$w = \int_0^q \frac {kQ}{r} dQ = \frac {kq^2}{2r}$$ Tenemos que reunir ambas cargas, y luego llevarlas desde muy lejos hasta la distancia d una de la otra dando la energía potencial total: $$U = kq^2(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}) $$ Si entiendo la notación de David, esto es lo mismo que la aproximación que David sugirió para lo que en realidad es un problema complicado. De aquí obtenemos la respuesta al problema del péndulo: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{mg} (\frac{1}{r} - \frac{1}{d}) $$ Ya que d no puede ser realmente menor que r, $\Delta h$ es positiva y, de hecho, la posición final es más alta, como todo el mundo parece estar de acuerdo.

Parece razonable suponer $d >> r$ lo que simplifica mucho el resultado: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{mgr} $$ Sin embargo Mark H utilizando un método diferente (que me parece razonable) llega a: $$ \Delta h = \frac {kq^2}{4mgr} $$ Dado que estos dos resultados difieren en un factor de 4, no pueden ser ambos correctos. ¿Alguien puede indicar qué método (o quizá ambos) es incorrecto?