Desintegración y marginalidad

Question

Sea $\mu$ y $\nu$ dos probabilidades sobre $\mathbb{R}^{d}$ .

Sea $ \gamma \in \Pi(\mu,\nu)$ es el subconjunto de la medida de probabilidad $\pi$ como $$ \pi (A\times Y) =\mu(a) \text{ and } \pi(X\times B)=\nu(B) $$

Puedo desintegrar $\gamma$ según $(h, h_{\#} \gamma$ ), tengo una familly de medida $\gamma_{y}$ concentrado en $h^{-1}(\{y\})$ .

¿Puedo decir algo sobre los marginales de $\gamma_{y}$ ?

Cualquier ayuda será apreciada, gracias y saludos.

Answer 1

He encontrado algo, no exactamente lo que necesito, tal vez podría ser un buen comienzo.

Si $\gamma = \gamma_{y} \oplus \alpha_{\#} \gamma$ la desintegración de $\gamma$ según $(\alpha, \alpha_{\#})$ . Entonces $\beta_{\#}\gamma = \beta_{\#} \gamma_{y} \oplus \alpha_{\#} \gamma$

Ahora dejemos que $ \beta_{\#}\gamma = \mu_{y} \oplus \delta_{\#} \beta_{\#}\gamma$ la desintegración de $\beta_{\#} \gamma$ según $(\delta, \delta_{\#} \beta_{\#} \gamma)$ entonces

$$ \mu_{y} = \beta_{\#} \gamma_{y} $$