Número de almas integrales a ecuaciones lineales sin coeficientes unitarios

Question

Para determinar el número de soluciones integrales de la ecuación lineal

$$ x_1+x_2+x_3+\cdots+x_k = N$$

tenemos una expresión $$ ^{N+k-1}C_{k-1}$$

Pero quiero saber si los coeficientes de $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ no fueran unidad, es decir, que fueran del tipo

$$ a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\cdots+a_k x_k = N$$

entonces cómo podemos determinar el número de soluciones integrales $>0 $ a esta ecuación? ¿Cómo podemos encontrar una solución?

P.D. Realmente no sé si existe alguna otra pregunta como duplicado de ésta. Por favor, discúlpeme si existe una pregunta exactamente igual.

Answer 1

El número $s(N)$ de soluciones de su ecuación tiene función generadora $$ \sum_{N=0}^\infty s(N) z^N = \prod_{i=1}^k \dfrac{1}{1 - z^{a_i}}$$