Estoy tratando de encontrar este límite:
$$\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sin \sin \ldots \sin }_{\text{$ n $ times}}x$$
Gracias
Respuestas
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En primer lugar, hay que demostrar que hay un límite. la primera aplicación de $\sin x$ nos meterá en $[-1,1]$ Si $x \in [0,1]$ tenemos $0 \le \sin x \lt x$ por lo que la secuencia (después del primer término, tal vez) es monotónicamente decreciente y está limitada por debajo por $0$ . Entonces, si hay un límite, debe tener $\sin x=x$ . ¿Dónde es eso cierto? El caso bajo cero es para ti.
Bluebird75
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He aquí un enfoque diferente que no conduce tan directamente a una prueba rigurosa como la de Ross Millikan, pero que es más concreta y muestra la tasa de convergencia. Dejemos que el $n$ El miembro de la secuencia viene dado por la función $x(n)$ . Utilizando la serie de Taylor de la función seno, y aproximando la función discreta $x$ por una continua, tenemos $dx/dn\approx -(1/6)x^3$ . La separación de variables y la integración dan como resultado $x\approx \pm\sqrt{3/n}$ para grandes $n$ .
