La diferencia entre una clase y un conjunto

Question

Sé lo que es un juego. No tengo ni idea de lo que es una clase.

Lo mejor que puedo entender es que cada grupo es también una clase, pero una clase puede ser "más grande" que cualquier grupo. (Una llamada "clase adecuada".)

Esto obviamente no tiene ningún sentido, ya que los conjuntos son de tamaño ilimitado. No es como si llegaras a 25 elementos y dijeras "oh, hey, los conjuntos están limitados a un máximo de 20 elementos, así que tendremos que llamar a esta cosa de 25 elementos algo más".

¿Alguien sabe lo que el actual La diferencia entre un conjunto y una clase es

Editar: Varias personas han señalado que se pueden escribir paradojas que involucran conjuntos. Lo entiendo. ¿Pero dónde entran las clases en el cuadro?

Answer 1

Su intuición sobre las limitaciones de tamaño es errónea. Piensa en los conjuntos finitos: hay conjuntos que son finitos pero tan grandes como quieras, $6$ elementos, $25$ elementos, $216$ elementos, lo que sea. Pero, ¿significa eso que el conjunto de los números naturales es un conjunto finito?

La idea detrás del transfinito es lo que sucede después de haber llegado al infinito y más allá . Así que hay conjuntos y se hacen cada vez más grandes, luego se convierten en infinitos, y siguen haciéndose cada vez más grandes... finalmente se ha llegado "hasta el final". Viene una pregunta: ¿la colección de todo lo que has acumulado hasta ahora es un conjunto? Si es así, podemos seguir adelante. Las clases nos dicen que finalmente (que está bastante lejos eventualmente) tenemos que parar en algún lugar.

En el enfoque ingenuo de las matemáticas pensamos que toda colección de la que podamos hablar es un conjunto. Simplemente porque en el enfoque ingenuo no existe una definición de conjunto.

Sin embargo, una vez que entró en juego la teoría axiomática de conjuntos, tenemos la definición aparentemente circular: Los conjuntos son elementos de un modelo de teoría de conjuntos.

Por ejemplo, uno de los axiomas sobre los conjuntos es que tienen conjuntos potencia. Uno de los teoremas que relacionan un conjunto y su conjunto de potencias es que no existe ninguna función suryente de un conjunto a su conjunto de potencias.

Supongamos la colección de todos los conjuntos, $V$ fuera un conjunto en sí mismo, ¿cuál sería su conjunto de potencia? Bueno, cada subcolección de $V$ es un conjunto y por lo tanto en $V$ . Esto significa que $P(V)\subseteq V$ . Sin embargo, esto significa que existe una función suryectiva desde $V$ ¡en su conjunto de poder!

La paradoja de Cantor (como la anterior), así como la paradoja de Russell (todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos es una colección que no es un conjunto), y así varias otras paradojas nos dicen una cosa: no todas las colecciones que podemos definir son conjuntos .

En ZFC las clases son simplemente colecciones definibles de conjuntos. ¿Qué significa definible? Significa " todos los conjuntos que tienen una propiedad que podemos describir en el lenguaje dado ".

Una forma sencilla de describir la diferencia entre conjuntos y clases en ZFC es que los conjuntos son elementos de otros conjuntos. Las clases no son elementos de ninguna otra clase, por lo que si $A\in B$ entonces $A$ es un conjunto.

---

A su edición:

Lo primero que se quiere de una teoría matemática fundacional (sobre la que se espera construir más tarde la mayor parte de las matemáticas) es que si se tiene una determinada propiedad, entonces se puede hablar de todas las cosas de tu universo con esta propiedad . Las diversas paradojas nos dicen que en ZFC (y sus engendros) algunas de estas colecciones no son conjuntos. La noción de "clase propia" nos dice que podemos seguir hablando de esta colección, pero que no es un conjunto propiamente dicho.

Por ejemplo, podemos hablar de ordinales (que son una generalización transfinita de los números naturales en algún sentido), la colección de todos los ordinales es una clase propia. Podemos seguir hablando de "todos los ordinales" o demostrar que alguna propiedad se cumple para todos ellos, a pesar de que no se trata de un conjunto.

Answer 2

Por desgracia, tu intuición te está fallando. Pero no te preocupes, Cantor pensó lo mismo cuando lo inventó :).

De hecho, hay clases que son "demasiado grandes" para ser conjuntos. Por ejemplo, la clase de "todos los conjuntos" es demasiado grande para ser un conjunto según la famosa La paradoja de Russell lo que contradice directamente su intuición de antes. Se llama paradoja porque desafía la propia intuición que estabas utilizando: La paradoja de Russell nos muestra que si "el conjunto de todos los conjuntos" existe como conjunto, entonces la teoría de conjuntos contiene enunciados falsos (y por lo tanto es inconsistente y sin valor). Es un problema importante y la principal motivación de por qué estudiamos teoría axiomática de conjuntos en primer lugar.

Cuando se empieza a estudiar la jerarquía de los infinitos, se aprende rápidamente que no existe un "conjunto de todos los ordinales", ¡ya que es demasiado grande para ser un conjunto! Es decir, el La paradoja de Burali-forti . Cuando te sumerges en la teoría de conjuntos, te encuentras con un montón de ejemplos.

El término técnico de lo que hablas es "clase propia", pero debes saber que las que he mencionado aquí son clases propias del sistema ZFC (donde NO SE PERMITE el uso de NINGUNA clase propia). Si quieres estudiar más a fondo las clases propias te sugiero que leas sobre Teoría de conjuntos NBG y Nuevas fundaciones donde se permite el uso de clases apropiadas.

Answer 3

Si estás familiarizado con la lógica de primer orden, esto puede ayudarte.

Si miramos un modelo $M$ de ZFC desde el exterior, como en la teoría de modelos, una "clase" es simplemente un subconjunto definible del modelo. Sin embargo, puede haber o no un elemento en el modelo cuya extensión es exactamente esa clase. Si lo hay, decimos que la clase "es un conjunto" (en el contexto de ese modelo). En caso contrario, la clase "no es un conjunto", es una clase "propia".

Por ejemplo:

• En cualquier modelo de ZFC, existe un conjunto vacío, que corresponde a la clase $\{x : x \not = x\}$ . Por lo tanto, esta clase es un conjunto.

• En cualquier modelo de ZFC, nunca hay un conjunto en el modelo cuya extensión contenga todos los conjuntos del modelo, no $x \in M$ tal que $y \in x$ para todos $y \in M$ . Por lo tanto, la clase $\{x : x = x\}$ no es un conjunto, es una clase propia.

¿De dónde viene la idea de "demasiado grande"? Hay varias formas de entenderla. He aquí una. En primer lugar, podemos comprobar que si $M$ es un modelo de ZFC, $C$ es una clase de $M$ y $x$ es un conjunto en $M$ entonces $x \cap C$ es un conjunto en $M$ . Esto es exactamente lo que dice el axioma de la separación si se lee de esta manera. Por lo tanto, la única manera de que $C$ podría no ser un conjunto es que no hay $x \in M$ con $C \subseteq x$ y en este sentido una clase propia es "demasiado grande" para ser un conjunto en $M$ .

Answer 4

La diferencia exacta es discutible, y no todas las teorías de conjuntos formalizan las clases, pero intuitivamente, las clases se refieren a cosas como la clase de los elefantes (especies), la clase de los objetos blancos, la clase de los enteros, etc. Los conjuntos son (ingenuamente) lo suficientemente permisivos como para significar cualquier colección de objetos. Es un problema filosófico y los fundamentos de las matemáticas son muy filosóficos.

De hecho, matemáticos/lógicos/filósofos como Leśniewski (asesor doctoral de Tarski) rechazaron las teorías axiomáticas de conjuntos de su época por motivos filosóficos, ya que eran chapuzas mal formuladas que se limitaban a vendar las fuentes últimas de las paradojas 1 y traiciona la noción intuitiva básica de conjunto cantoriano que él entendía como libre de paradojas; para él, los singletons y los conjuntos vacíos eran nociones absurdas 2 . Sus artículos publicados utilizan la palabra "clase" (que, según recuerdo, era intercambiable con conjunto), por lo que en su caso no se hizo ninguna distinción. Para preservar su noción de conjunto cantoriano, Leśniewski formuló lo que denominó mereología en sustitución de la teoría de conjuntos. En lugar de la pertenencia al conjunto, definió la relación de pertenencia a la parte ( $x \sqsubset y$ , leer " $x$ es una parte propia de $y$ ") que puede utilizarse para definir la relación de ingredientes ( $x \sqsubseteq y \iff x \sqsubset y \lor x = y$ ). Si $x$ es el único ingrediente de $y$ , entonces trivialmente $x = y$ o, $x$ es la clase $y$ (sin singleton). Si $\neg \exists x [x \sqsubset y]$ entonces $y$ es indefinido (no hay conjunto vacío).

En el caso de Leśniewski, su sustitución de la teoría de conjuntos se basaba en una metafísica nominalista que entendía las clases como sumas mereológicas. La clase de los matemáticos es un objeto real y concreto en el mundo que es la suma de todos los matemáticos y esta clase se superpone a la clase de los lógicos, otra suma, ya que algunos matemáticos son también lógicos. Algunos pueden encontrar esta comprensión de las clases impar, pero en lo que se refiere a los conjuntos, se puede argumentar, al menos, que el singleton y el conjunto vacío son nociones absurdas. La mereología no requiere, por sí misma, la interpretación nominalista, pero vale la pena mencionar que desempeñó un papel en su obra. También vale la pena mencionar que la mereología se basó en otros dos sistemas que, junto con la mereología, formaron un sistema cohesivo y riguroso, a saber, la ontología (donde se define el "es") y la prototética (que conlleva la lógica de primer orden).

Además, la mereología es inmune a las paradojas de stock que plagan la teoría de conjuntos. Por ejemplo, la paradoja de Russell, entendida como la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas. Recordemos, $x$ no es más que la suma de sus partes. Si suponemos que "contiene" significa la relación de ingrediente, entonces trivialmente, $\forall x [x \sqsubseteq x]$ . Por tanto, todas las clases se contienen a sí mismas y, por lo tanto, la cuestión de la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas es incoherente, ya que no existen tales clases. Por otro lado, si se entiende que la paridad adecuada define "contiene", entonces $\neg\forall [x \sqsubset x]$ en virtud de la propiedad antireflexiva de $\sqsubset$ (dado como axioma). Por lo tanto, la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas es simplemente la suma de todos los individuos (el universo). El caso de la paridad propia es un poco más sutil. Para una mayor discusión, le remito a Leśniewski.

En cualquier caso, lo que quería decir es que "depende". Algunos sistemas definen la clase formalmente, otros no. Otros no hacen ninguna distinción. Pero lo que es más importante entender no es esta o aquella formalización particular, sino la cuestión básica que estas teorías de conjuntos están tratando (o deberían tratar) de abordar, y es que están tratando de precisar y formalizar las nociones intuitivas de clase y conjunto, que están relacionadas con cuestiones metafísicas más antiguas sobre universales, especies, géneros, etc. Sin entender ese problema básico que están tratando de resolver, de qué se trata, estarás perdiendo el tiempo, mirando sin rumbo y arbitrariamente este o aquel axioma sin ningún sentido de lo que es la teoría de conjuntos, por qué lo es, qué hace un buen sistema, etc. Parecerá como si existieran esos matemáticos que misteriosamente salen con axiomas sin ninguna razón y el resto se supone que se limita a comprobar su consistencia o a aceptarlos como dogmas incomprensibles. Serán como un amnésico que camina por la calle sin saber dónde está o a qué dirección debe dirigirse. Me temo que todo esto es demasiado común.

1 La paradoja de Russell se refiere al conjunto de todos los conjuntos normales. Un conjunto normal es un conjunto que no se contiene a sí mismo. La cuestión es si el conjunto de todos los conjuntos normales se contiene a sí mismo. La paradoja: si el conjunto de todos los conjuntos normales no se contiene a sí mismo, entonces debe contenerse a sí mismo porque es normal, pero se contendría a sí mismo y, por tanto, no sería normal y no podría contenerse a sí mismo, lo que significa que sería normal, pero...

2 Recomiendo la lectura de sus obras traducidas publicadas en Topoi. El proceso de razonamiento es interesante en sí mismo.

Answer 5

En mi sitio http://settheory.net/ He dado explicaciones detalladas sobre la diferencia entre conjuntos y clases.

Para resumirlo, existe un orden metamatemático del tiempo entre teorías y universos posibles que forman una jerarquía interminable, donde cada teoría sólo puede estudiar un universo pasado y añadirse a él para formar un universo posterior. De ahí la idea de que el propósito de la teoría de conjuntos es modelar esta jerarquía abierta o flujo del tiempo. Entonces la diferencia entre conjuntos y clases toma sentido de forma abierta y dinámica: al contrario que los conjuntos, una clase sigue siendo potencialmente capaz de contener elementos que aún no existen (aunque no siempre podamos saberlo con seguridad).

Esta explicación proporciona una justificación para algunos axiomas de la teoría de conjuntos, para los que se puede demostrar que algunas clases son conjuntos porque tienen una extensión conocida, sin riesgo de recibir en el futuro algún otro elemento aún desconocido que siga satisfaciendo la propiedad dada. El axioma del conjunto de potencias es la principal excepción, el único axioma que no puede justificarse adecuadamente. Este hecho es la clave de muchas paradojas en los fundamentos de las matemáticas.