Estoy tratando de probar que, la relación $R$ definida en un espacio topológico $X$ s.t. " $aRb$ es válida" si "existe un subconjunto conexo del camino $U$ de $X$ que contiene $a,b$ "es reflexivo. Así que si puedo demostrar que hay un camino de a a para cualquier a en $X$ entonces el conjunto ${a}$ puede hacer el trabajo.
La definición conocida de trayectoria desde un punto ' $a$ ' a ' $b$ ', por mí es - Existe un mapa continuo ' $f$ ' de $[0,1]$ a $X$ s.t. $f(0)=a$ y $f(1)=b$ .
Defina $f: [0,1] \to X$ por $f(t) = a$ para todos $t \in [0,1]$ . Esto es continuo para cualquier $X$ porque si $O \subseteq X$ está abierto, $f^{-1}[O] = \emptyset$ si $a \notin O$ y $f^{-1}[O] = [0,1]$ si $a \in O$ por lo que la imagen inversa de un conjunto abierto de $X$ está siempre abierto en $[0,1]$ . (los mapas constantes son siempre continuos entre cualquier par de espacios).
Así que esto forma un camino trivial de un punto a sí mismo.
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