Estructuras orbitales del conjunto de clases de conjugación y del conjunto de representaciones irreducibles bajo grupo de automorfismo

Question

Deje G sea un grupo finito. Supongamos que C es el conjunto de clases de conjugación de G y R es el conjunto de (clases de equivalencia de) representaciones irreducibles de G sobre los números complejos.

El grupo de automorfismo de G tiene una acción natural sobre C y también en R (podemos hacer ambas acciones a la izquierda). Mis preguntas:

1. ¿En qué condiciones C y R equivalente a $\operatorname{Aut}(G)$ -¿conjuntos? Esto es definitivamente cierto, por ejemplo, si cada automorfismo es interno, si el grupo de automorfismo externo de G es cíclico (se deduce entonces del lema de permutaciones de Brauer) y también es cierto si el cociente del grupo de automorfismos por el grupo de automorfismos conservadores de clase es cíclico (de nuevo por el lema de permutaciones de Brauer). Pero también parece ser cierto en otros casos, como el grupo de cuaterniones, donde el grupo de automorfismos exterior es un grupo simétrico de grado tres.
2. Una condición más débil: ¿bajo qué condiciones son los tamaños de órbita bajo $\operatorname{Aut}(G)$ para C y R ¿Igual?

Answer 1

Creo que un ejemplo de conjuntos de permutaciones no equivalentes viene dado por $G=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^n$ para $n>2$ (y $p$ un primo). Entonces el grupo de automorfismos es $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ las clases de conjugación están en biyección natural con $G$ y el conjunto de representaciones irreducibles están en biyección con el grupo dual (o dual $\mathbb Z/p\mathbb Z$ -vectorial). En ambos casos sólo hay dos órbitas, una de longitud $1$ (el elemento de identidad y la representación trivial, respectivamente). Los estabilizadores de los elementos en las órbitas no triviales no son conjugados: Mapeo a $\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ mapear estos dos tipos de estabilizadores dos parabólicas no conjugadas (estabilizadores de rectas o de hiperplanos).

Answer 2

Por el lema de permutación de Brauer, los caracteres de permutación son siempre iguales, pero las representaciones no tienen por qué ser isomorfas. Un ejemplo es el grupo no abeliano de orden 27 y exponente 9. Una condición para una equivalencia para subgrupos del grupo de automorfismo se da en el libro de texto de Teoría de Caracteres de Isaacs como teorema 13.24 en la página 230-231:

Si S es un subgrupo soluble de Aut(G), y gcd(|S|,|G|)=1, entonces las representaciones de permutación de S en Irr(G) y Cl(G) son isomorfas.

Esto raramente responderá directamente a tu pregunta, ya que Aut(G) y G suelen tener divisores primos comunes, pero quizás las ideas te sean útiles. En particular, describe un refuerzo de tu #2 que implica #1.

Avísame si quieres el código GAP para verificar el pedido 27 ejemplo. La acción sobre las clases tiene órbitas de tamaños 1, 1, 1, 2, 6 y la acción sobre los irreducibles tiene órbitas de tamaños 1, 2, 2, 3, 3.

Código GAP para comprobar el isomorfismo de permutaciones:

OnCharactersByGroupAutomorphism := function( pnt, act )
  return Character( UnderlyingCharacterTable( pnt ),
  pnt{FusionConjugacyClasses(act^-1)} );
end;;
OnCBGA := OnCharactersByGroupAutomorphism;;

g := ExtraspecialGroup(27,9);;
a := AutomorphismGroup(g);;
gensIrr := List( GeneratorsOfGroup(a), f ->
  PermListList( Irr(g), List( Irr(g), chi -> OnCBGA( chi, f ) ) ) );
gensCcl := List( GeneratorsOfGroup(a), f ->
  PermList( FusionConjugacyClasses(f) ) );
# perm iso?
fail <> RepresentativeAction( SymmetricGroup( NrConjugacyClasses( g ) ),
  gensCcl, gensIrr, OnTuples );

Algo de lo que pediste podría estar más en la línea de preguntar si los grupos de permutación generados por gensIrr y gensCcl son conjugados, así que elegí un ejemplo donde incluso las imágenes no son conjugadas. El ejemplo dado a continuación de G=2×2×2 es el más pequeño si sólo quieres permutación estricta (no) isomorfismo.