Aplicaciones de la geometría algebraica sobre un campo con un elemento

Question

Me gustaría entender al menos uno de los varios enfoques existentes de la geometría algebraica sobre $\mathbb{F}_1$ (el campo con un elemento). ¿Hay algún ejemplo de teorema "interesante" que pueda formularse puramente en el lenguaje de los esquemas ordinarios, pero que pueda demostrarse utilizando la geometría algebraica sobre $\mathbb{F}_1$ ?

Por supuesto, la interpretación de la palabra "interesante" depende totalmente del gusto de cada uno. Un ejemplo en el que el teorema no pueda demostrarse utilizando métodos "clásicos" sería lo más deseable, pero también lo serían ejemplos en los que (una de) las teorías de esquemas sobre $\mathbb{F}_1$ da una prueba alternativa de un resultado ya conocido también sería muy apreciada.

[En una nota relacionada, quizás debería haber una etiqueta "pregunta-ingenua" para situaciones como ésta].

Answer 1

Estoy seguro de que la respuesta a la pregunta original es no . Apenas hay teoremas en la materia, ¡y mucho menos con aplicaciones externas! En otras palabras, si nunca se avanza en ninguna de las direcciones que la gente ha seguido, lo más probable es que todo caiga en el olvido (lo que no lo convertiría en un área tan inusual). Lo que atrae a la gente no es el historial de aplicaciones existentes, sino la posibilidad de aplicaciones futuras apasionantes. Así que invertir tiempo en este tema es una especie de apuesta: puede dar sus frutos si eres bueno adivinando el futuro (o si tienes información privilegiada), o puedes acabar perdiendo mucho tiempo.

No quiero ser demasiado pesimista. Por mi parte, tengo muchas esperanzas puestas en ciertas direcciones (!), pero creo que lo mejor es ver claramente en qué se está metiendo uno.

Answer 2

Para profundizar en la posible conexión con la hipótesis de Riemann:

Una de las partes de las conjeturas de Weil (que fueron demostradas por Deligne, y que también se deducen de las "conjeturas estándar" de Grothendieck) afirma:

Si $X$ es una variedad proyectiva lisa de dimensión $n$ en $\mathbb{F}_q$ entonces su función zeta $Z_X(t)$ tiene la forma $$\frac{P_1(t) P_3(t) \cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t)P_2(t) \cdots P_{2n}(t)},$$ donde cada $P_i(t)$ tiene la forma $\prod_j (1-\alpha_{ij}t)$ y de forma que cada $\alpha_{ij}$ es un número entero algebraico tal que $|\alpha_{ij}| = q^{i/2}$ .

La función zeta $Z_X(t)$ de una variedad $X$ se define como $\exp(\sum N_r t^r/r)$ donde $N_r$ es el número de $\mathbb{F}_{q^r}$ -puntos de $X$ .

Escriba a $\zeta_X(s) = Z_X(q^{-s})$ . Entonces la afirmación anterior implica que los ceros y polos de $\zeta_X(s)$ se encuentran en las líneas dadas por $\mathfrak{Re}(s) = i/2$ con $i=1, \dots, 2n$ . La función $\zeta_X(s)$ también es igual a $$\prod_{x \in X} \frac{1}{1-|k(x)|^{-s}}$$ donde $|k(x)|$ es el orden del campo de residuos de $x$ (que siempre es finito).

Ahora bien $X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ fuera de alguna manera una variedad proyectiva lisa de dimensión 1 sobre $\operatorname{Spec} \mathbb{F}_1$ entonces $\zeta_X(s)$ sería la función zeta de Riemann, y...

Answer 3

Connes et al. motivan su estudio de la geometría sobre $\mathbb F_1$ en parte por la idea de que podría ayudar a demostrar la Hipótesis de Riemann. Algunas personas, como Mochizuki creo, esperan que este estudio pueda ayudar a demostrar la $abc$ conjetura.

Todas ellas son aplicaciones potenciales, aún no reales. Pero oye, si una de estas funciona...

Answer 4

No tengo conocimiento de tal teorema pero deberías echar un vistazo a funciones zeta absolutas que esperan demostrar muchas cosas sobre las funciones zeta, quizás hasta la Hipótesis de Riemann.

Como no sé mucho, mejor te remito a otra pregunta de MO:

• ¿Cuál es el campo con un elemento?