Formación de la ecuación diferencial

Question

Estoy tratando de obtener de:

$$e^{\lambda t} (\frac{dN}{dt} + \lambda N) = re^{\lambda t} $$

Para:

$$ \frac {d}{dt}(Ne^{\lambda t}) = re^{\lambda t} $$

Sin embargo, no estoy seguro de qué procedimiento utilizar para hacerlo. Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

En lugar de pensar en pasar de la primera ecuación a la segunda, hagámoslo a la inversa. Eso significa que tenemos que tomar la derivada en su segunda ecuación:

$$\frac{d}{dt}\left(Ne^{\lambda t}\right) = \frac{dN}{dt}e^{\lambda t} + N\frac{d}{dt}e^{\lambda t} = e^{\lambda t}\frac{dN}{dt} + \lambda N e^{\lambda t} = e^{\lambda t}\left(\frac{dN}{dt}+\lambda N\right).$$

Pasar de la primera ecuación a la segunda es como factorizar una ecuación cuadrática. Se necesita un poco de experiencia y comodidad con las operaciones para ver cómo hacerlo. Sin embargo es realmente fácil expandir un producto de dos términos binomiales como $(x-a)(x-b)$ que es como pasar de la segunda ecuación a la primera.

Answer 2

Proceda como sigue:

Nótese que, por la ley distributiva,

$e^{\lambda t}(\dfrac{dN}{dt} + \lambda N) = e^{\lambda t} \dfrac{dN}{dt} + \lambda e^{\lambda t} N; \tag{1}$

observe también que, por la regla de Leibniz para la diferenciación de un producto,

$\dfrac{d}{dt}(Ne^{\lambda t}) = e^{\lambda t} \dfrac{dN}{dt} + \lambda e^{\lambda t} N, \tag{2}$

desde

$\dfrac{de^{\lambda t}}{dt} = \lambda e^{\lambda t}; \tag{3}$

comparando (1) y (2) vemos que

$\dfrac{d}{dt}(e^{\lambda t} N) = e^{\lambda t}(\dfrac{dN}{dt} + \lambda N); \tag{4}$

insertando (4) en la ecuación original se obtiene

$\dfrac{d}{dt}(e^{\lambda t} N) = re^{\lambda t}, \tag{5}$

y el proceso termina.

Answer 3

Esta técnica aplica la regla del producto para la diferenciación a la inversa. Esencialmente estás utilizando el hecho de que la función exponencial es proporcional a su derivada para crear una expresión que es la derivada de un producto. Esta técnica se conoce como el método de integración de factores.

La regla del producto establece $$\frac {d (uv)}{dx}=u\frac {dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

A modo de ejemplo $u=N $ , $x=t $ de ahí $\frac {du}{dx}=\frac {dN}{dt}$

Hasta ahora tenemos: $$\frac{d(Nv)}{dt}=N\frac {dv}{dt}+v\frac {dN}{dt}$$

Así que todo lo que necesitamos es una función amigable $v $ que es proporcional a su propia derivada. Aquí es donde la $e^{\lambda t}$ entra.