Tengo el bagaje teórico-categorial del ocasional paseo por el texto de MacLane, así que disculpen mi ignorancia al respecto. Estaba intentando aprender todo lo que podía sobre el tema de las álgebras tensoriales y las formas exteriores superiores, y me topé con la noción de determinantes cohomológicos. Siguiendo esta línea de investigación, me topé con el uso general de la noción de categoría de Picard, y seguí frustrado tratando de encontrar algún tipo de exposición de lo que son estas estructuras. ¿Dónde puedo encontrar más información sobre estas estructuras y sobre los determinantes (cohomológicos) en teoría K, que parecen ser un tema candente entre los investigadores de AG, AT y RT?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
sverrejoh
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Me encontré con las categorías de Picard en un área totalmente diferente de las matemáticas, pero tal vez ayude.
En resumen, una categoría de Picard es un objeto de grupo en la categoría de los grupoides.
Las categorías Picard aparecen cuando se estudian las pilas Picard. A grandes rasgos, una pila de Picard es un conjunto de categorías de Picard. El ejemplo clásico es tomar un complejo de gavillas de dos términos (¿perfecto?) y asociar a dicho complejo el grupoide cociente de un término por el otro. Esto es importante cuando se desea producir un objeto geométrico a partir de un complejo de este tipo. Es una herramienta importante para definir clases fundamentales virtuales, como en http://arxiv.org/abs/alg-geom/9601010 .
Antes de contarles demasiadas cosas que no son ciertas, he aquí las referencias que conozco:
Notas de Martin Olsson Conferencia 5. Incluso puede verlo en vídeo .
La referencia definitiva es Exposición XVIII de SGA 4 .
Por último, Barbara Fantechi imparte conferencias muy amenas y realistas en http://www.openeya.org/sissa/ [enlace muerto]. Creo que la clase 3 o 4 trata de las categorías Picard.
Kevin Ballard
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Los factores determinantes se analizan (en un lenguaje pertinente para esta cuestión actual) en esta pregunta del modus operandi .
Las categorías de Picard aparecen de forma natural como groupoides fundamentales (también conocidos como de Poincare), concretamente en los espacios de bucles infinitos (que son una versión homotópica refinada de los objetos de grupos abelianos en espacios, por lo que constituyen una fuente natural de grupos abelianos en categorías). De hecho, las categorías de Picard son equivalentes a espectros que sólo tienen dos grupos homotópicos consecutivos, que hasta el desplazamiento podemos tomar como $\pi_0$ y $\pi_1$ -- una dirección viene dada por el groupoide fundamental.
El importante ejemplo de la categoría de Picard de líneas gradadas sobre un campo surge de esta manera a partir del espectro algebraico de la teoría K del campo, a través de la construcción de la línea determinante (véase, por ejemplo, el artículo de Beilinson al que se hace referencia en las respuestas al enlace MO anterior).
Otro ejemplo importante en la teoría de rep es la categoría Picard de gavillas de operadores diferenciales retorcidos. Se trata en detalle en el famoso artículo de Beilinson-Bernstein "Proof of Jantzen Conjectures".
Usuario no registrado
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Sobre la transcripción de la tesis de H X Sinh [pdf] (aún en curso), el profesor J Baez señaló [enlace] :
Merece la pena mencionar que Hoàng Xuân Sính , a menudo llamada "Madame Sinh" en la literatura, fue una estudiante vietnamita de Grothendieck que en su tesis estudió lo que ahora llamamos 2-grupos (categorías monoidales donde todos los objetos y morfismos son invertibles). Las llamó categorías Gr y las clasificó en términos de cohomología de grupos.
Demostró que cualquier categoría Gr da un elemento de $H^3(G,A)$ donde G es el grupo de clases de isomorfismo de objetos y A es el grupo de endomorfismos del objeto unidad. A veces se denomina invariante de Sinh. Proviene del asociador, que da un ciclo de 3 gracias a la identidad del pentágono. Si se sustituye la categoría Gr por una equivalente monoidal, este ciclo de 3 cambia por uno cohomólogo, por lo que el invariante de Sinh es una clase cohomológica.
[Gr-catégories] H X Sinh
La teoría de las categorías de Picard ocupa un lugar destacado en la tesis.
scritoriano
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Perseguir pilas debería caber aquí.
Hay muchos usos de las categorías Picard (véase el apéndice) y, de hecho, en el apéndice se enumeran algunos ejemplos de categorías Picard 2, 3.
