Encontrar los límites de $\lim _{x \to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x}$ sin la regla de l'Hopital o la expansión de Taylor.

Question

Encontrar el límite $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x}$ sin la regla de l'Hopital ni la expansión de Taylor.

Mi intento

$\displaystyle =\lim _{x \to 0} \frac {\cos x - \frac{\sin x}{x}} {x \sin x}$

$=\frac {\displaystyle\lim _{x \to 0}\cos x - \lim _{x \to 0}\frac{\sin x}{x}} {\displaystyle\lim _{x \to 0}x \sin x}$

$=\frac{1-1}{0}$

Pero aún así termino con $\frac00$

Cualquier pista para proceder me sería muy apreciada.

P.D: He consultado esta pregunta en mathstack y he encontrado que la han resuelto con la regla de l'Hopital y la respuesta parece ser $\frac{-1}{3}$ .

¿Qué es la $\lim _{x \to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x}$ ?

Answer 1

Famoso $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ puede demostrarse sin dichas técnicas, e implica $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ . Con un poco más de esfuerzo (por ejemplo, aproximando un arco circular como una parábola), también se puede mostrar $\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\tfrac16$ . Así que $\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2\sin x}=\tfrac16$ y $$\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x-1}{x\sin x}+\frac{x-\sin x}{x^2\sin x}\right)=-\frac12+\frac16=-\frac13.$$

Answer 2

Tenemos

$$\frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x}=\frac{\cos x}{\frac{\sin x}x}\cdot\frac{x-\tan x}{x^3}\to1\cdot \left(-\frac13\right)=-\frac13$$

utilizando

• Cómo demostrarlo $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ ?
• ¿Se pueden resolver todos los límites sin la regla de L'Hôpital o la expansión en serie?

Answer 3

El límite en cuestión es igual a la segunda derivada de la función sinc evaluada en $0$ . Es decir,

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2\sin(x)}&=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^3}\frac{x}{\sin(x)}\\\\ &=2\lim_{h\to 0}\frac{\text{sinc}(h)-1}{h^2}\\\\ &=2\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)-h}{h^3}\\\\ \end{align}$$

En Esta respuesta Demostré, sin utilizar el cálculo, que la función seno satisface la desigualdad

$$\sin(h)\ge h-\frac16 h^3\tag1$$

En un desarrollo paralelo, se puede demostrar, sin cálculo, que $\sin(h)\le h-\frac16h^3+\frac1{120}h^5$ . (Alternativamente, integrar $(1)$ dos veces y utilice $\cos(0)=1$ y $\sin(0)=0$ .)

Por lo tanto, aplicando el teorema de squeeze, encontramos que

$$\lim_{x\to 0}\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2\sin(x)}=-\frac13$$

Answer 4

Si bien la búsqueda de manera más fácil, permítanme sugerir una posible manera de resolver la parte difícil principal de límite sugerido. Cambio denumerator a $x^3$ para simplificar, ya que es equivalente a $x^2\sin x$

Supongamos que conocemos la existencia del límite. Entonces $$L=\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{x-3\sin \frac{x}{3}+4 \sin^3 \frac{x}{3}}{x^3}=\\ =\lim_{x\to0}\left(3\frac{\frac{x}{3} - \sin \frac{x}{3}}{x^3} + \frac{4 \sin^3 \frac{x}{3}}{x^3}\right) =\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{x}{3} - \sin \frac{x}{3}}{9\left(\frac{x}{3}\right)^3} + \frac{4 \sin^3 \frac{x}{3}}{x^3}\right)=\frac{L}{9}+\frac{4}{27}$$ A partir de la ecuación obtenida $L=\frac{1}{6}$

Answer 5

Denote $L$ el límite existente. Entonces, expréselo como

\begin{align} L=\lim _{x \to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x^2 \sin x} &= \lim _{x \to 0}\frac {x (2\cos^2\frac x2 -1) -2 \sin \frac x2 \cos\frac x2} {2x^2 \sin \frac x2 \cos\frac x2}\\ &= \lim _{x \to 0} \frac {x (\cos^2\frac x2-1) +2 \cos\frac x2(\frac x2\cos \frac x2- \sin\frac x2)} {2x^2 \sin \frac x2 \cos\frac x2}\\ &= - \lim _{x \to 0}\frac{\sin\frac x2}{\frac x2} \frac1{4\cos\frac x2} + \lim _{x \to 0} \frac{\frac x2\cos \frac x2- \sin\frac x2} {4(\frac x2)^2 \sin \frac x2} \\ &= -\frac14+\frac14L \end{align}

Así, $L= -\frac13$ .