¿Pueden las transformaciones lineales adyacentes realizarse de forma natural como functores adyacentes?

Question

La semana pasada Yan Zhang me preguntó lo siguiente: ¿hay alguna forma de realizar los espacios vectoriales como categorías de modo que los functores adjuntos entre pares de espacios vectoriales se conviertan en operadores lineales adjuntos en el sentido habitual?

Parece como si hubiera que declarar un producto interior por decreto para que esto funcione. Un enfoque obvio es tomar los objetos para ser vectores y hom(v, w) para ser el producto interno (por lo que la categoría debe ser enriquecido sobre C). Pero no veo cómo funciona la composición aquí, y Yan dice que lo intentó y no funcionó tan limpiamente como quería. En esta configuración supongo que queremos que la categoría sea aditiva y que el biproducto sea la suma de vectores, pero no tengo ni idea de si esto ocurre realmente. Creo que las ideas de John Baez sobre el álgebra lineal categorizada, especialmente los espacios de Hilbert categorizados, son relevantes aquí, pero no las entiendo lo suficientemente bien como para ver cómo funcionan.

¿Alguien que sepa algo de teoría de categorías puede aclarar las cosas?

Answer 1

Comprobar

John C. Baez, Álgebra de dimensiones superiores II: Espacios de 2 Hilbert , en línea .

"La analogía con los adjuntos de operadores entre espacios de Hilbert es clara. Nuestro punto principal aquí es que esta analogía se basa en la más fundamental fundamental entre el producto interno y el functor hom".

Answer 2

Hay una forma sencilla de hacer que esto funcione:

Diga T:V->X es un mapa de espacios vectoriales de producto interno. Puede ver V como categoría, donde Hom(v,w) es un conjunto único que contiene un número real, el producto interior <v,w> y lo mismo para X .

La composición, una operación binaria, se define (estúpidamente, como en cualquier categoría con conjuntos homólogos de un solo elemento) de la siguiente manera:

Comp_{uvw} : Hom(u,v)xHom(v,w) -> Hom(u,w)

por (<u,v>,<v,w>) |-> <u,w>

Entonces el adjunto T*:X->V satisface

<Tv,x>=<v,T*x> es decir Hom(Tv,x)=Hom(v,T*x)

lo que significa que es un adjunto derecho de T (en un sentido muy fuerte: tenemos igualdad de estos hom conjuntos en lugar de un simple isomorfismo natural).

La trivialidad de este ejemplo refleja el hecho de que T y T* se llaman "adyacentes" simplemente porque están en lados opuestos de una coma :)

En general, si H es una función cualquiera de dos variables, podemos decir que g es contigua a f "con respecto a H" si H(f(a),b)=H(a,g(b)), y decir que los "functores contiguos" son "contiguos con respecto a Hom" (hasta isomorfismo natural, por supuesto).