¿Pueden las transformaciones lineales adyacentes realizarse de forma natural como functores adyacentes?

Question

La semana pasada Yan Zhang me preguntó lo siguiente: ¿hay alguna forma de realizar los espacios vectoriales como categorías de modo que los functores adjuntos entre pares de espacios vectoriales se conviertan en operadores lineales adjuntos en el sentido habitual?

Parece como si hubiera que declarar un producto interior por decreto para que esto funcione. Un enfoque obvio es tomar los objetos para ser vectores y hom(v, w) para ser el producto interno (por lo que la categoría debe ser enriquecido sobre C). Pero no veo cómo funciona la composición aquí, y Yan dice que lo intentó y no funcionó tan limpiamente como quería. En esta configuración supongo que queremos que la categoría sea aditiva y que el biproducto sea la suma de vectores, pero no tengo ni idea de si esto ocurre realmente. Creo que las ideas de John Baez sobre el álgebra lineal categorizada, especialmente los espacios de Hilbert categorizados, son relevantes aquí, pero no las entiendo lo suficientemente bien como para ver cómo funcionan.

¿Alguien que sepa algo de teoría de categorías puede aclarar las cosas?

Answer 1

Es posible establecer una correspondencia clara entre funciones adyacentes y funtores adyacentes, si se relaja un poco la comprensión de lo que significa para una categoría "realizar" un espacio de Hilbert. (El adjunto de una función lineal sólo existe si los espacios vectoriales son espacios de Hilbert y la función es continua, así que consideraré que la pregunta se refiere al espacio de Hilbert en lugar de a los espacios vectoriales).

Dado un espacio de Hilbert $H$ lo "realizamos" como el conjunto parcialmente ordenado de subespacios cerrados $S(H)$ considerada como una categoría. Entonces una función lineal continua $f \colon H \to K$ induce un functor contravariante $S(f) \colon S(H)^{\text{op}} \to S(K)$ . Ahora, denotando la función adjunta de $f$ por $f^\dagger \colon K \to H$ obtenemos una unión entre $S(f)$ y $S(f^\dagger)$ . De hecho, hasta un escalar, cualquier adjunto contravariante entre $S(H)$ y $S(K)$ procede de un par adjunto de funciones entre $H$ y $K$ ¡!

Todo esto procede de un artículo de 1974 de Paul H. Palmquist, alumno de Mac Lane, titulado "Adjoint functors induced by adjoint linear transformations" en Proceedings of the AMS 44(2):251--254.

Answer 2

Hay una forma canónica de hacer el camino inverso, partiendo de dos categorías lineales con buenas propiedades de finitud, con functores adjuntos entre ellas y obteniendo un par de espacios vectoriales con transformaciones lineales adjuntas. Los espacios vectoriales se generan mediante símbolos formales para cada objeto de la categoría, y el producto interior entre cualquier objeto es la dimensión del espacio Hom (así que es mejor que los espacios Hom sean de dimensión finita). Nótese que no tiene por qué ser simétrico.

Los funtores dan transformaciones lineales, y los funtores adyacentes son adyacentes en el sentido habitual.

Puede ampliar esta construcción cuando tenga más estructuras de su categoría. Por ejemplo, si tienes una suma directa, puedes imponer la relación $[A+B]=[A]+[B]$ y todo funcionará bien.

Si su categoría es abeliana, puede tomar el grupo de Grothendieck, donde $[A]+[C]=[B]$ para cada secuencia exacta corta $0\to A \to B \to C\to 0$ pero entonces hay que tener mucho más cuidado con el hecho de que muchos functores (¡incluyendo Hom con objetos en la categoría!) no son exactos: no envían secuencias exactas cortas a secuencias exactas cortas. Hay que usar funtores derivados para arreglar esto.

No hay una forma canónica de ir en la dirección que has preguntado, aunque en la práctica tenemos un muy buen historial de poder hacerlo y no conozco ningún ejemplo realmente bueno de que haya dos construcciones iguales de apariencia natural pero diferentes.

Answer 3

Creo que es más natural aprovechar la estructura monoidal y considerar los espacios vectoriales como functores en lugar de objetos. Para simplificar, consideremos sólo espacios vectoriales de dimensión finita. Dado V, tenemos un funtor $F_V: Vect \to Vect$ que envía $W$ a $W \otimes V$ . La identificación familiar $Hom(U\otimes V, W) = Hom(U, W\otimes V^*)$ muestra que el adjunto (teoría de categorías) de $F_V$ es $F_{V^*}$ . (Eso es $F$ sub $V^*$ en caso de que el tipo de letra sea demasiado pequeño para leerlo). Encadenando dos de estas identificaciones adjuntas de conjuntos Hom, tenemos

$Hom(V, X) = Hom(1, X\otimes V^*) = Hom(X^*, V^*)$ .

La identificación anterior envía una transformación lineal $g:V\to X$ al adjunto (álgebra lineal) $g^*: X^*\to V^*$ . Si $V$ y $X$ son espacios de producto interno, entonces podemos, por supuesto, identificar $V^*$ con $V$ y $X^*$ con $X$ .

Quizá sea demasiado elemental y no sea la respuesta que buscabas. Pero me parece que es la forma más sencilla y obvia de relacionar los adjuntos del álgebra lineal con los adjuntos de la teoría de categorías.

Answer 4

Se me acaba de ocurrir que puede haber un cierto sentido en el que esto sea imposible en principio. Toda equivalencia de categorías puede mejorarse a una equivalencia adjunta, modificando la unidad o el conde. Esto es cierto para todo tipo de categorías (internas, enriquecidas, con fibras, etc.). Así que si hubiera una manera de realizar todos los espacios vectoriales (o, digamos, espacios de producto interno) como algún tipo de categoría tal que las transformaciones lineales adyacentes se convirtieran en functores adyacentes, esperaríamos que cualquier isomorfismo de espacios vectoriales diera una equivalencia de tales categorías y, por tanto, pudiera mejorarse a una equivalencia adyacente, es decir, un isomorfismo cuyo adjunto es su inverso. Pero esto es falso; no todo isomorfismo entre espacios producto interior es unitario/ortogonal.

No puedo decidir si esto es profundo o absurdo, pero pensé en lanzarlo.

Answer 5

No es exactamente una respuesta a la pregunta planteada, pero vale la pena señalar que tanto los mapas lineales adyacentes como los funtores adyacentes pueden realizarse como instancias de la misma cosa, a saber, morfismos en un Construcción Chu .

Por un lado, un espacio vectorial $V$ con un producto interior (o cualquier forma bilineal) $B_V:V\otimes V \to \Bbbk$ puede considerarse un objeto de $\mathrm{Chu}(\mathrm{Vect},\Bbbk)$ Llámalo $V'$ . Un morfismo $V'\to W'$ en $\mathrm{Chu}(\mathrm{Vect},\Bbbk)$ es entonces un par de mapas lineales $f:V\to W$ y $g:W\to V$ tal que $B_V(v,g w) = B_W(f v,w)$ es decir, un par adjunto de transformaciones en sentido lineal.

Por otra parte, cualquier categoría $C$ tiene un homfunctor $\hom_C : C^{\mathrm{op}}\times C\to \mathrm{Set}$ y, por tanto, puede considerarse un objeto de la construcción 2-categórica Chu $\mathrm{Chu}(\mathrm{Cat},\mathrm{Set})$ como se ha comentado aquí llamar a este objeto $C'$ . Entonces un morfismo $C'\to D'$ en $\mathrm{Chu}(\mathrm{Cat},\mathrm{Set})$ es un par de functores $f:C^{\mathrm{op}}\to D^{\mathrm{op}}$ (o equivalentemente $C\to D$ ) y $g:D\to C$ junto con un isomorfismo (por eso aquí la construcción de Chu tiene que ser 2-categórica) $\hom_C(c,g d) \cong \hom_D(f c,d)$ es decir, un par adjunto de functores en sentido categórico.