Límite de $n/\ln(n)$ sin la regla de L'Hôpital

Question

Estoy intentando calcular el siguiente límite sin la regla de L'Hôpital:

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\ln(n)}$$

He probado todos los trucos que conozco pero nada funciona. No tienes que probarlo por definición.

Answer 1

Sea $\ln(n) = t$ . Entonces tenemos $n = e^t$ . Por lo tanto, tenemos $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\ln(n)} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{e^t}{t}$$ Recordemos que $e^t = 1 + t + \dfrac{t^2}{2!} + \cdots > \dfrac{t^2}{2}$ . Por lo tanto, tenemos $$\lim_{t \to \infty} \dfrac{e^t}{t} > \lim_{t \to \infty} \dfrac{t^2}{2t} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{t}{2} = \infty$$

Answer 2

Cada vez que hagas $n$ dos veces y a lo grande, aumentas $\ln n$ por menos de $1$ (ya que $e$ es inferior a $2$ ). Así que imagina duplicar repetidamente el numerador y cada vez que lo hagas, añadir sólo $1$ al denominador, y piensa a qué se acercará. Eso es todo.

PS inspirado en un comentario: $$ \frac{n}{\ln n} > \frac{n}{\log_2 n}. $$ Una prueba de comparación dice entonces que si este último va a $\infty$ entonces también lo hace el primero.

Cada valor de $n$ se encuentra entre dos potencias de $2$ tenemos $2^m\le n\le 2^{m+1}$ . Ese número $m$ es $m=\lfloor \log_2 n\rfloor$ . Así que $m\le\log_2 n<m+1$ . $$ \frac{2^m}{m+1}\le\frac{n}{m+1}<\frac{n}{\log_2 n}\le\frac n m. $$ Así pues, basta con demostrar que $\dfrac{2^m}{m+1}\to\infty$ . Demuestre por inducción que para alguna constante $c$ tenemos $$ \frac{2^m}{m+1} \ge \left(\frac 3 2\right)^m $$ y luego hacer otra comparación.