Clases de conjugación en grupos finitos que siguen siendo clases de conjugación cuando se restringen a subgrupos propios

Question

Un artículo de próxima publicación con Venkatesh y Westerland, requerimos la siguiente definición graciosa. Sea G un grupo finito y c una clase de conjugación en G. Decimos que el par (G,c) es sin divisiones si, para cada subgrupo H de G, la intersección de c con H es una clase de conjugación de H o está vacía.

Por ejemplo, G puede ser el grupo diedro de orden 2p y c la clase de una involución.

El caso en el que c es una involución nos interesa especialmente. Una forma de construir pares no divisores es tomar G como producto semidirecto de N por (Z/2^k Z), donde N tiene orden impar, y c es la clase de conjugación que contiene las involuciones de G. ¿Son éstos los únicos ejemplos? En otras palabras:

Pregunta 1: ¿Existe un par no divisor (G,c) con c como involución pero en el que el subgrupo 2-Sylow de G no sea cíclico?

Preguntas algo menos bien planteadas:

Pregunta 2: ¿Existen ejemplos "interesantes" de pares no divisores en los que c no sea una involución? (El único ejemplo que tenemos en mente es G = A_4, con c una de las clases de 3 ciclos).

Pregunta 3: ¿Tiene esta noción alguna relación con algo de interés preexistente para las personas que estudian los grupos finitos?

Actualización : Muy buenas respuestas a continuación ya -- Debo añadir que, para la máxima "interés", la clase de conjugación c debe generar G. (Esto elimina los ejemplos en los que c es central en G, excepto en el caso G = Z/2Z).

Answer 1

Supongamos que los elementos de c tienen orden primo p (por ejemplo, c está formado por involuciones). Sea H el subgrupo del p-grupo de Sylow P generado por la intersección de c con P. Nótese que P normaliza a H ya que H está generado por una clase de conjugación en P.

Afirmación: H es un subgrupo cíclico central de P

Pruebas: Sea F el subgrupo Frattini de H (generado por conmutadores y potencias pth). Como H/F es abeliano elemental y está generado por elementos de una única clase de conjugación en H (por no división), se deduce que H/F es cíclico. Pero entonces por el teorema de la base de Burnside (una versión del lema de Nakayama para grupos p) H también debe ser cíclico. Como H es abeliano, por no división debe ser central en su normalizador (que incluye P).

De hecho por no división H tiene que ser central dentro del normalizador de P. Así que estamos en la situación en la que no hay dos elementos de c se sientan dentro de la misma Sylow P. En particular, el tamaño de c divide el número de Sylow p-grupos es el mismo que .

El estudio de grupos en los que el centralizador de una involución contiene el normalizador de un grupo Sylow 2 parece el tipo de cosas de las que la gente de clasificación podría saber algo. Se dedicaban a clasificar grupos en los que el centralizador de una involución tiene alguna propiedad.

Answer 2

Se trata de una nueva respuesta wiki comunitaria que la gente puede editar en lugar de escribir comentarios.

Noah escribió:

He aquí una observación elemental, en la definición de no división puedes restringir tu atención a aquellos H generados por a dos (no necesariamente distintos) elementos de c.

Como señala FC dos involuciones siempre generan un grupo diedro. Como señala JSE (G,c) para c una clase de involuciones es no divisoria si los grupos diedros resultantes son todos de orden 2*impar. En particular, (G,c) es no divisoria para c una involución si el producto de dos elementos cualesquiera de c tiene orden impar.

JSE sugiere buscar el subgrupo generado por todos los productos por pares de los elementos de c. Esto genera todo el grupo o genera un subgrupo de índice 2 (que es necesariamente normal y tiene un complemento generado por cualquier elemento de c). FC ha observado que en lugar de mirar los productos por pares se pueden mirar los conmutantes por pares (ya que el conmutante de dos involuciones es el cuadrado de su producto y en un grupo cíclico de orden impar el cuadrado de un generador genera).

Centrémonos en este último caso.

pregunta FC:

cuándo un grupo A admite una involución i:A-->A tal que i(a)a^-1 siempre tiene orden impar, y {i(a)a^-1} genera para todo A genera A.

[Creo que los únicos grupos de este tipo tienen orden de impar. Además, Puesto que A tiene un número impar de 2-Sylow subgrupos, i conserva al menos una Sylow P. Sin embargo, entonces i(a)a^-1 se encuentra en P, y por lo tanto es trivial. Por lo tanto i fija P. Se deduce que i preserva el normalizador N de P.--FC

Yo mismo había repasado el mismo argumento antes de darme cuenta de que esto es sólo el hecho de que el centralizador de un elemento de c en el gran grupo contiene el 2-Sylow y su normalizador (como en la respuesta Frattini).--Noah]

¿Tiene esto algo que ver con H^1(Z/2, A)? Para concretar, los mapas Z/2->A que envían el elemento no trivial a i(a)a^-1 son exactamente los co-límites. --Noah

Espera un segundo, ya que cada coboundary es un cocycle (o por un cálculo directo de una línea) si y = i(a) a^-1 entonces i(y) = y^-1. Así que en particular necesitaríamos que A esté generado por elementos tales que i(y) = y^-1. --Noah

Otra caracterización de que (G,c) parte para c una involución (y < c > genera G) es que:

(i) G está generado por < c >`, (ii) [g,c] tiene orden impar para cada g en G.

(esto último sólo dice que el producto (gcg^-1*c) de dos conjugados cualesquiera de c tiene orden impar). Estas condiciones se mantienen al tomar cocientes. Por tanto, son válidas al menos para un grupo simple. Usando la clasificación (urgh) creo que de esto se puede deducir que el único cociente simple de G es Z/2Z. Esto reduciría el problema al "primer caso" considerado anteriormente. --FC.

En realidad, recorrer todas las involuciones en todos los grupos simples me parece muy difícil. ¿Hay alguna razón para esperar que sea manejable? En particular, ¿para los grupos de tipo Lie? --Noah

Answer 3

Si su $c$ es una clase de conjugación de elementos de orden primo impar $p$ entonces (utilizando la clasificación de los grupos simples finitos), sigue siendo cierto que $G = O_{p^{\prime}}(G)C_{G}(x)$ para cada $x \in c$ donde $O_{p^{\prime}}(G)$ denota el mayor subgrupo normal de $G$ de orden primo a $p$ . Esto podría considerarse como un análogo impar de Glauberman $Z^{\ast}$ -teorema. Si a alguien se le ocurriera una demostración de este resultado sin clasificaciones, sería de gran interés. considerable interés (es relativamente fácil demostrarlo directamente cuando $G$ tiene solución (o, más generalmente, $p$ -resoluble)). Por cierto, su pregunta parece estar relacionada con el antiguo concepto de pronormalidad (que se trata, por ejemplo, en el libro de Gorentstein "Grupos finitos"). Volviendo al caso $p = 2$ , interesantes generalizaciones de Glauberman $Z^{\ast}$ -fueron dados por D. Goldschmidt y también por E. Shult. Un resultado que Shult en un artículo de Bull AMS (alrededor de 1966), en el que demostró que un elemento de or que un elemento de orden $p$ en un grupo finito que no conmuta con ninguno de sus otros conjugados Y centraliza cada $p^{\prime}$ -grupo que normaliza, es central en $G$ .

Answer 4

En relación con Pregunta 1 G = S ₄ H = A ₄ y c = [(12)(34)]. Esta clase no se divide, y c ≅ C ₂ ×C ₂ que no es cíclico. No estoy seguro de si esto es un ejemplo en la línea de su "producto semidirecto de N por Z/". _{2 ^kZ} "ya que olvido qué factor esperas que sea el subgrupo normal. En el ejemplo anterior, c es el subgrupo normal, y C ₃ actúa por automorfismos internos de c para producir A ₄ .

Answer 5

Los grupos en los que todos los subgrupos son normales pueden ser relevantes. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_group para obtener información sobre estos grupos.