Contesta: Hice trampa y le pregunté a Richard Lyons esta cuestión (o al menos, la reformulación del problema, conjeturando que (G,c) no es divisible para una involución c con < c > generando G si y sólo si existe un impar A tal que G/A = Z/2). Su respuesta:
Buena pregunta. Se trata de un famoso (en mis círculos) teorema - el Glauberman Z^ *- Teorema. (Z^*(G) es la preimagen del subgrupo de exponente 2 del centro de G/O(G), y O(G)=subgrupo normal más grande de G de orden impar).
Z^ *- Teorema: Si c es una involución de G entonces c \in Z^*(G) si [c,g] tiene orden impar para todo g \in G si para cualquier Sylow 2-subgrupo S de G que contiene c, c es el único G-conjugado de sí mismo en S.
La última propiedad es absolutamente fundamental para CFSG. La prueba utiliza la teoría modular de caracteres para p=2. Los intentos de hacerlo con herramientas más sencillas han fracasado.
George Glauberman, Central Elements in Core-free Groups, Journal of Algebra 4, 1966, 403-420.
Observaciones antiguas:
Comentario 1 : Supongamos que P = Z/2+Z/2 es un 2-Sylow. Si x está en P, entonces P centraliza claramente x, y por tanto el orden de < x > divide #G/P, y por tanto es impar. Por un teorema de Frobenius, G tiene un número impar de elementos de orden 2, y por lo tanto vemos que tiene un número impar de clases de conjugación de elementos de orden 2. Sin embargo, por los teoremas de Sylow, cada elemento de orden 2 es conjugado a un elemento de P. Si c se encuentra en P, entonces por no división, es único en su clase de conjugación G en P. Por lo tanto, debe haber exactamente tres clases de conjugación de elementos de orden 2, y por lo tanto ningún elemento de P es G-conjugado. Aplicando correctamente el teorema del complemento normal de Frobenius, deducimos que G admite un subgrupo normal A tal que G/A \sim P. Sin embargo, < c > genera G, y por tanto la imagen de < c > genera G/A. Sin embargo, G/A es abeliano y no cíclico, una contradicción.
Comentario 2 : Supongamos que A es un grupo de orden coprimo a p tal que p | #Aut(A). Sea G el producto semidirecto que se encuentra dentro de la secuencia:
1 ---> A ---> G --(phi)--> Z/pZ --> 0;
Sea c (cualquier) elemento de orden p que mapea a 1 en Z/pZ. Si c es conjugado a c^j, entonces phi(c) = phi(c^j). Por lo tanto c no es conjugado a ninguna potencia de sí mismo.
Sea H un subgrupo de G que contenga a c (o un conjugado de c, se aplica el mismo argumento). El elemento c genera un p-silow P de H (y de G). Basta demostrar que si gcg^-1 está en H, entonces es conjugado a c dentro de H. Nótese que gPg^-1 es un p-Sylow de H. Como todos los p-Sylows de H son conjugados, existe un h tal que gPg^-1 = hPh^-1, y por tanto h c^j h^-1 = gcg^-1. Sin embargo, hemos visto que c^j no es conjugado a c dentro de G a menos que j = 1. Por lo tanto gcg^-1 = hch^-1 es conjugado a c dentro de H.
Acabo de darme cuenta de que querías < c > para generar G. No está claro (para mí) qué condición sobre A hay que imponer para asegurar esto. Algo así como que el automorfismo tiene que ser "suficientemente mixto". En el peor de los casos, supongo, el grupo G' generado por < c > sigue teniendo la propiedad, por el mismo argumento.
Esto funciona de forma más general si p || G y ningún elemento de orden p es conjugado a una potencia de sí mismo. (Creo que esto ya lo sabes si p = 2).
El caso en el que el p-Sylow no es cíclico es probablemente más complicado.
Ejemplos: A = (Z/2Z)+(Z/2Z), p = 3. (Esto es A _ 4).
A = Grupo de cuaterniones, p = 3. (Esto es GL _ 2(F _ 3) = ~A _ 4, ~ = extensión central).
A = M^37, M = grupo de monstruos, p = 37.
