Es ${\rm conv}({\rm ext}((C(X))_1))$ denso en $(C(X))_1$ ?

Question

Sea $X$ sea Hausdorff compacto, y $C(X)$ el espacio de funciones continuas sobre $X$ . Denotemos la bola unitaria cerrada en $C(X)$ por $(C(X))_1$ entonces se puede demostrar $f$ es un punto extremo de $(C(X))_1$ sólo si $|f(x)|=1$ para todos $x\in X$ .

En El libro de Douglas se nos pide que demostremos que el casco convexo de los puntos extremos de $(C(X))_1$ es denso en $(C(X))_1$ . Utilizando un teorema de Fejer podemos demostrar que esto es cierto cuando $X=[0,1]$ . Pero no sé cómo hacerlo para general $X$ .

Como sólo es el 7º problema del primer capítulo, supongo que la solución debería ser elemental.

Gracias.

Answer 1

He aquí un enfoque más algebraico. La idea básica es la siguiente:

Si $\lVert f\rVert \leq 1$ y $f$ es de valor real, entonces podemos escribir $g=f+i\sqrt{1-f^2}$ . Claramente $|g|^2=g\bar g =1$ para que $g$ es un punto extremo de la bola unitaria. Además, $f=\frac12(g+\bar{g})$ para que $f$ es una combinación convexa de dos puntos extremos. Esto ya demuestra que toda función es una lineal (pero no necesariamente convexa) de los puntos extremos. Sin embargo, con un poco de ingenio se puede refinar esta idea a la siguiente afirmación:

Si $\lVert f \rVert \lt 1 - \frac{2}{n}$ entonces $f$ es el casco convexo cerrado de $n$ puntos extremos. Más exactamente, $$ f = \frac{1}{n} (g_1 + \dots + g_n) $$ con $g_k$ extremo para todos $1 \leq k \leq n$ .

Esto da la afirmación deseada observando que la convergencia $(1-\frac{3}{n})f \to f$ exhibe cada $f$ con $\lVert f \rVert \leq 1$ como límite de combinaciones convexas de puntos extremos.

La afirmación de que cada elemento de la norma $\lt 1-\frac{2}{n}$ es una media de $n$ elementos unitarios se cumple en un unital arbitrario $C^\ast$ -y no es más difícil de demostrar en general que en el caso conmutativo (dado el cálculo funcional continuo). Este resultado se debe a Russo y Dye con una demostración sencilla debida a Gardner, véase su artículo . Puede encontrarse una demostración más detallada en Pedersen, Analysis Now, Proposition 3.2.23. Dado que los unitarios son siempre puntos extremos (véase Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Proposition 1.4.7), el enunciado de su pregunta se cumple en un unital arbitrario $C^\ast$ -álgebra. Suponiendo que $A$ tiene una unidad es necesario: la bola unidad tiene un punto extremo si y sólo si $A$ es unital, (véase el teorema 1.6.1 de la obra de Sakai C*-álgebras y W*-álgebras ).

Answer 2

Norbert señaló en un comentario que esto es falso para escalares reales, así que supondremos que consideramos escalares complejos $C(X) = C(X,\mathbb{C})$ .

No he pensado en ello en profundidad, así que quizá haya enfoques más sencillos. Vamos a aplicar el Teorema de Stone-Weierstrass .

A partir de la descripción de los puntos extremos, los siguientes son sencillos:

1. Si $f$ es extremo, entonces también lo es su complejo conjugado $\bar{f}$ y $e^{i\alpha} f$ para $\alpha \in \mathbb{R}$ .

2. Si $f$ y $g$ son extremas entonces $f\cdot g$ es extremo.

3. Si $f$ y $g$ son combinaciones convexas de puntos extremos, entonces también lo es $\frac{1}{2}(f+g)$ .

4. Si $f$ y $g$ son combinaciones convexas de puntos extremos, entonces también lo es $f \cdot g$ .

   Para ver el último punto, veamos $f = \sum_{j=1}^m \lambda_j f_j$ y $g = \sum_{k=1}^n \mu_k g_k$ con $\sum \lambda_j = 1 = \sum \mu_k$ y $\lambda_j, \mu_k \geq 0$ y $f_j, g_k$ extremal. Entonces $f \cdot g = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n (\lambda_j \mu_k) \, f_j g_k$ con $\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n \lambda_j \mu_k = \big( \sum_{j=1}^m \lambda_j \big) \big(\sum_{k=1}^n \mu_k\big)= 1$ y $\mu_j \lambda_k \geq 0$ y $f_j g_k$ es extremo por 2.

De aquí se deduce que el tramo lineal de los puntos extremos (= los múltiplos positivos de combinaciones convexas de los puntos extremos por lo anterior) es una subálgebra autoadjunta $A$ de $C(X)$ y puesto que $A$ contiene las funciones constantes, queda por demostrar que los elementos de $A$ puntos separados de $X$ :

Si $X$ está vacío o sólo tiene un punto, la afirmación de la pregunta es muy fácil de demostrar. Por lo tanto $x_1,x_2 \in K$ sean dos puntos distintos. Elija una función continua $f \colon X \to [0,1]$ tal que $f(x_1) = 0$ y $f(x_2) = 1$ . Establecer $g(x) = 1 + i f(x)$ . Entonces $g$ desaparece en ninguna parte, por lo que $h = \frac{g}{\lvert g\rvert}$ está bien definida, es continua y es un punto extremo de la bola unitaria. Tenemos $h(x_1) \neq h(x_2)$ Así que $A$ separa los puntos.

Ahora podemos aplicar el teorema de Stone-Weierstrass a $A$ demostrando que $A$ es denso en $C(X)$ . De ello se deduce fácilmente que $A \cap C(X)_1$ es denso en $C(X)_1$ .