¿Cómo de grande es una n! concreta?

Question

¿Hay alguna manera de estimar el tamaño de $n!$ es para un determinado $n$ ? Por ejemplo, sin usar una calculadora, ¿cuál es la magnitud de $7!$ o $12!$ o $100!$ ?

Answer 1

Sí, La fórmula de Stirling :

\begin{equation} n! \; \sim \; \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \end{equation}

Answer 2

Otra respuesta en este hilo sugiere la aproximación de Stirling: $$n! \approx \sqrt{2\pi n}\biggl(\frac ne\biggr)^n$$

que creo que es el lugar adecuado para empezar a responder a esta pregunta. Sin embargo, puede ser útil añadir que si se toma el logaritmo de esta cantidad, se obtiene el número (aproximado) de dígitos que hay que escribir $n!$ que puede ser más útil:

$$\begin{align} \log n! & \approx \color{darkblue}{n\log n} - n\color{maroon}{\log e} + \color{darkblue}{\frac12 \log n} + \color{darkgreen}{\frac12\log 2\pi}\\ & \approx \color{darkblue}{\biggl(n+\frac12\biggr)\log n} - \color{maroon}{0.43}\cdot n + \color{darkgreen}{0.798} \end{align} $$

( $\log$ aquí está la función común de logaritmo de base 10).

Para los pequeños $n$ esto da los siguientes valores, que he redondeado al número entero más cercano:

$$\begin{array}{rr} n & \text{length of $n!$} \\\hline 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ 5 & 2 \\ 6 & 3 \\ 7 & 4 \\ 8 & 5 \\ 9 & 6 \\ 10 & 7 \\ 11 & 8 \\ 12 & 9 \\ 13 & 10 \\ 14 & 11 \\ 15 & 13 \\ 16 & 14 \\ 17 & 15 \\ 18 & 16 \\ 19 & 18 \\ 20 & 19 \\ \end{array} $$

Esto es correcto para todos los $n$ se muestra excepto $1$ y $5$ para lo cual se desvía en 1.

Answer 3

Una alternativa interesante a la fórmula de Stirling podría ser la fórmula más precisa derivada por Srinivasa Ramanujan, $$ \ln(n!) \sim n\ln(n) - n + \frac{1}{6}\ln(n(1+4n(1+2n))) + \frac{1}{2}\ln(\pi). $$

Answer 4

Un enfoque diferente aquí, ya que sospecho que está pidiendo un método que no requiere ninguna función "avanzada".

El tamaño de un número entero positivo se puede expresar bien en términos de cuántos dígitos se necesitan para escribir el número. La mejor forma de representarlo es como la parte entera del logaritmo del número, más 1 (logaritmo de base 10, es decir, Log no Ln). Por ejemplo LOG[55] = 1,74 (2 d.p.), requiere INT[1,74] + 1 = 2 dígitos para representarlo. Puedes tener una mejor idea del tamaño de un número mirando también los dígitos después del punto decimal en el logaritmo.

Haciendo ajustes polinómicos de LOG[n!] frente a n se obtienen estas dos útiles regiones de trabajo aproximadas.

n = 7 a 119 (polinomio cúbico): LOG[n!] ~ -0,0000284659105*n^3 + 0,00943671908*n^2 + 0,962859106*n - 3,95423829 Factor de error máximo en el rango de 2,93

n = 120 a 1000 (polinomio de 5º orden): LOG[n!] ~ -4,68977059E-13*n^5 + 0,00000000164012606*n^4 - 0,000002402405*n^3 + 0,0021512217*n^2 + 1,6770136*n - 29,6620872 Factor de error máximo en el rango de 1,94

Podrías hacerlo mejor con polinomios de orden superior, particularmente en el rango de 7 a 119, pero estos son lo suficientemente buenos para decirte "cuán grandes" son los factoriales.

Los 7 siguientes deberías poder hacerlos en tu cabeza :-)