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Combinatoria/Distribución de probabilidades Ejemplo de pregunta

En un restaurante local de comida rápida de Oregón (sin impuestos sobre las ventas), las patatas fritas, los refrescos, las hamburguesas, la tarta de cereza y los helados cuestan \$1 each. Chicken sandwiches cost \$ 2 cada uno. Tienes 5 dólares. ¿Cuántas comidas diferentes puedes pedir?

Asignemos dos grupos A y B. Que A esté formado por \$1 items and B consist of \$ 2 artículos.

Grupo A: \Artículos de $ 1: Patatas fritas, refrescos, hamburguesas, tarta de cereza, helados = 5 artículos
Grupo B: \$2 artículos: Sándwich de pollo = 1 artículo

Supongo que se trata de un problema combinatorio desordenado y con sustitución (es decir, que se puede seleccionar más de un elemento del mismo tipo). Por lo tanto, hay 3 escenarios posibles debido a la \$5 restricción:

(I) AAAAA: Aquí tenemos 5 objetos para el grupo A's
n=5 obj + 4 divisores = 9, r=5 obj

(II) BAAA: Como aquí sólo hay un objeto B, he pensado que podría omitirlo y calcular sólo la colocación de 3 objetos en AAA. Esto se debe a que sólo puedo tener un objeto en B, pero soy libre de elegir la distribución entre los otros A. n= 3 obj + 2 divisores = 5, r = 3 obj

(III) BBA: De nuevo, puesto que B sólo tiene un elemento y A sólo 5 valores, este grupo es simplemente 5.

Así que mi enfoque consiste en encontrar las combinaciones de (I)-(III) y sumarlas:

(I) $\binom{9}{5}=126$
(II) $\binom{5}{3}=10$
(III) $\binom{5}{1}=5$

La suma es 141, pero la respuesta es 166. ¿Alguien puede decirme qué estoy haciendo mal o sugerirme un método mejor? Estoy utilizando la siguiente proposición:

El número de muestras desordenadas de r objetos, con reemplazo de, n objetos distinguibles es: $C(n+r-1,r)= \binom{n+r-1}{r}$ . Esto equivale al número de maneras de distribuir r bolas indistinguibles en n urnas distinguibles sin exclusión.

Gracias.

6voto

Shabaz Puntos 403

Para la opción II, $5 \choose 3$ supone que no se pueden pedir dos iguales. Para el muestreo con reemplazo, debe ser ${7 \choose 3}=35$ por la misma lógica que utilizó para obtener $9 \choose 5$ . Eso aumenta el recuento a $166$

3voto

gimel Puntos 30150

Generar funciones son útiles en este caso. Tienes que encontrar el número de soluciones de la ecuación

$$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + 2x_6 \leq 5 $$

donde todas las variables son no negativas $(x_i \geq 0)$ . Por ejemplo, para hallar el número de soluciones de

$$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + 2x_6 = 5, $$

debe encontrar el coeficiente de $x^5$ en $(1 + x = x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^5(1 + x^2 + x^4)$ ( utilizar Wolfram alpha para calcular el producto ). Se puede ver que los primeros términos del producto son

$$ 1 + 5x + 16x^2 + 40x^3 + 86 x^4 + 166 x^5. $$

Creo que la respuesta correcta debería ser $1 + 5 + 16 + 40 + 86 + 166 = 314$ comidas, y así el $166$ corresponde únicamente al número de comidas posibles si se utilizan los cinco dólares.

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