Si f se comporta bien, la solución u(t) puede obtenerse analíticamente. En primer lugar, defina w(t,x)≡u(t,x)+F(x) donde ΔF(x)=f . Suponiendo que f no es patológico, como F existe y se puede calcular directamente, porque conocemos el núcleo de la ecuación de Laplace:
F(x)=∫Rnf(y)|x−y|dy
Este w obedece a una ecuación homogénea:
∂tw=∂t(u+F)=∂tu=Δu+f=Δ(u+F)=Δw
La solución para w también se puede obtener porque conocemos el núcleo de la ecuación del calor:
w(t,x)=1(4πt)n/2∫Rnw(0,y)e−|x−y|24tdy
De esta solución se deduce que si w(x,0) decae lo suficientemente rápido con x, entonces w→0 para t→∞ y para todos x . Por lo tanto, Δu→−f según sea necesario.