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Relación entre la ecuación de Laplace y la ecuación del calor

Me gustaría saber si es cierto que la solución de la ecuación tu(x,t)=Δu(x,t)+f(x),t0,u=0 para xRn,t=0 converge a la solución de Δu=f,xRn como t ? ¿Cómo puedo saber si es cierto?

Lo que estoy pensando es utilizar el principio de Duhamel y encontrar la solución y ¿qué debo hacer a continuación?

Gracias por su ayuda.

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Amit Naidu Puntos 113

Si f se comporta bien, la solución u(t) puede obtenerse analíticamente. En primer lugar, defina w(t,x)u(t,x)+F(x) donde ΔF(x)=f . Suponiendo que f no es patológico, como F existe y se puede calcular directamente, porque conocemos el núcleo de la ecuación de Laplace:

F(x)=Rnf(y)|xy|dy

Este w obedece a una ecuación homogénea:

tw=t(u+F)=tu=Δu+f=Δ(u+F)=Δw

La solución para w también se puede obtener porque conocemos el núcleo de la ecuación del calor:

w(t,x)=1(4πt)n/2Rnw(0,y)e|xy|24tdy

De esta solución se deduce que si w(x,0) decae lo suficientemente rápido con x, entonces w0 para t y para todos x . Por lo tanto, Δuf según sea necesario.

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