Relación entre la ecuación de Laplace y la ecuación del calor

Question

Me gustaría saber si es cierto que la solución de la ecuación $\partial_tu(x,t)=\Delta u(x,t)+f(x) ,t\ge0, u=0 $ para $x\in R^n , t=0$ converge a la solución de $\Delta u=-f, x\in R^n$ como $t\to \infty$ ? ¿Cómo puedo saber si es cierto?

Lo que estoy pensando es utilizar el principio de Duhamel y encontrar la solución y ¿qué debo hacer a continuación?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si $f$ se comporta bien, la solución $u(t)$ puede obtenerse analíticamente. En primer lugar, defina $w(t,x) \equiv u(t,x)+F(x)$ donde $\Delta F(x)=f$ . Suponiendo que $f$ no es patológico, como $F$ existe y se puede calcular directamente, porque conocemos el núcleo de la ecuación de Laplace:

$$F(x)=\int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|}dy $$

Este $w$ obedece a una ecuación homogénea:

$$\partial_t w= \partial_t (u+F)=\partial_t u=\Delta u+f=\Delta (u+F)= \Delta w$$

La solución para $w$ también se puede obtener porque conocemos el núcleo de la ecuación del calor:

$$w(t,x)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} w(0,y)e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}dy$$

De esta solución se deduce que si $w(x,0)$ decae lo suficientemente rápido con x, entonces $w\to 0$ para $t\to\infty$ y para todos $x$ . Por lo tanto, $\Delta u \to -f$ según sea necesario.