Grupo infinito con dos clases de conjugación

Question

Hay un pregunta con el mismo título, pero el problema, voy a publicar aquí, se trata de la solución por Arturo Magidin.

Una versión más débil del teorema de HNN sería, dado un grupo $H$ y $x,y\in H$ del mismo orden, existe un grupo $G$ tal que $G$ contiene $H$ y $x,y$ son conjugados en $G$ .

Como A. Magidin prosigue: consideremos $H=\mathbb{Z}$ . Entonces $1,2\in \mathbb{Z}$ tienen el mismo orden, existe un grupo $G_1$ tal que $\mathbb{Z}\subseteq G_1$ y $1,2$ son conjugados en $G_1$ . En el grupo $G_1$ construida, tenemos que la clase de conjugación de $1$ contiene $1,2,4,8,\cdots$ pero no $3$ por lo que debemos construir una nueva que contenga $G_1$ en el que $1$ y $3$ serán conjugados.

En resumen, el procedimiento anterior debe repetirse un número contable de veces para todos los elementos libres de torsión de $\mathbb{Z}$ conjugado en un grupo mayor. Es decir, en la solución de A. Magidin, habría infinitos grupos contables entre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{G_1}$ .

Entonces, de nuevo, para hacer todos los elementos libres de torsión fuera de $\mathbb{Z}$ conjugado en un grupo mayor, procedemos de la manera anterior, infinitas veces.

¿Cómo podríamos conseguir finalmente el grupo con sólo dos clases de conjugación?

Answer 1

Así que $G_1$ se forma haciendo que todos los elementos no triviales de $\Bbb Z$ conjugar. Y $G_2$ se forma haciendo que todos los elementos no triviales de $G_1$ conjugar. Y $G_3$ y $G_4$ etc., se forman de manera similar. Esto crea un sistema lineal directo infinito $G_1\hookrightarrow G_2\hookrightarrow G_3\hookrightarrow\cdots$ de incrustaciones.

Toma el límite directo $G=\varinjlim G_n$ . Informalmente, esto es sólo la unión $G=\bigcup G_n$ de todos ellos.

Entonces, si $x,y\in G\setminus0$ tenemos $x\in G_i$ y $y\in G_j$ para algunos $i,j$ Así que $x,y\in G_k$ con $k\ge i,j$ . Así $x,y$ son conjugados en $G_{k+1}$ que es un subgrupo de $G$ Así que $x,y$ son conjugados en $G$ .