Encuentre $a > 0$ valores s.t. $\sum_{n = 2}^\infty \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)$ converge

Question

¿Cómo puedo encontrar todos $a > 0$ valores s.t. la siguiente suma es finita?

$$\sum_{n = 2}^\infty \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)$$

Pude demostrar que la suma converge absolutamente para $a > 1$ mediante la prueba de comparación.

¿Cómo puedo encontrar todos $a$ ¿si la suma es condicionalmente convergente?

Lo que suelo hacer en este tipo de preguntas, es utilizar la prueba de comparación y encontrar las restricciones en $a$ pero no consigo que funcione.

Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Para un $a > 0$ aplicando el teorema de Taylor en el intervalo $[-1/2^{a}, 1/2^{a}]$ obtenemos $$\ln\Big(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{a}}\Big) = \frac{(-1)^{n}}{n^{a}}-\frac{1}{2(1+\xi_{n})^{2}}\frac{1}{n^{2a}}$$ para algunos $\xi_{n}$ entre $0$ y $(-1)^{n}/n^a$ . Tenga en cuenta también que $$\frac{2^{2a}}{2(2^{a}+1)^{2}}\frac{1}{n^{2a}} \leq \frac{1}{2(1+\xi_{n})^{2}}\frac{1}{n^{2a}} \leq \frac{2^{2a}}{2(2^{a}-1)^{2}}\frac{1}{n^{2a}}.$$ Así, $$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{2(1+\xi_{n})^{2}}\frac{1}{n^{2a}}$$ converge para $a > 1/2$ y diverge para $0 < a \leq 1/2$ . Por la prueba de series alternas, $\sum_{n = 2}^{\infty}(-1)^{n}/n^a$ converge para todo $a > 0$ . Por tanto, la suma original converge para $a > 1/2$ .