Prueba $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n\cdot7\times10\times\cdots\times (3n+1)}=\frac{\pi\sqrt3}{2}+\frac32\ln(3)4$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por las identidades funcionales para el $\Gamma$ función tenemos eso: $$\prod_{k=1}^{n}(3k+1)=3^n\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{4}{3}+n\right)}{\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)}\tag{1}$$ por lo tanto: $$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}\frac{n!}{3^n\prod_{k=1}^{n}(3k+1)}&=&\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma(n+1)}{9^n\cdot \Gamma\left(n+\frac{4}{3}\right)}=\frac{1}{3}\sum_{n\geq 1}\frac{B\left(n+1,\frac{1}{3}\right)}{9^n}\\&=&\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}\frac{(1-x)^n x^{-2/3}}{9^n}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1-x}{8+x}x^{-2/3}\,dx\end{eqnarray*}$$ y la última integral puede resolverse utilizando la sustitución $x=y^3$ que conduce a: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{n!}{3^n\prod_{k=1}^{n}(3k+1)}=\int_{0}^{1}\frac{1-y^3}{8+y^3}\,dy = -1+\frac{\sqrt{3}}{8}\,\pi+\frac{3}{8}\,\log 3.\tag{2} $$ Si ahora multiplicamos ambos lados de $(2)$ por $4$ demostramos la identidad declarada.
