Número mínimo de coeficientes distintos de cero para describir un polinomio de grado n

Question

Agradecería una buena referencia sobre esto, me parece un tema clásico y sin embargo no he podido encontrar mucho al respecto.

Polinomios en una variable de la forma $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0$ pueden transformarse en expresiones más sencillas. Por ejemplo aparentemente es bien sabido que la transformación de Tschirnhaus permite aportar cualquier quíntica en la llamada forma Bring-Jerrard $x^5+ax+b$ mientras que para el grado 6 se necesitan al menos tres coeficientes $x^6+ax^2+bx+c$ .

¿Existe un nombre para esta "forma generalizada de Bring-Jerrard" y qué se sabe de ella? En particular, hay una críptica nota a pie de página de Arnold (página 3 de esta conferencia ) donde dice aproximadamente que los grados para los que se necesitan más coeficientes se producen a lo largo de "una secuencia infinita bastante extraña": ¿podría alguien describir cuáles son esos grados (he echado un vistazo a la OEIS pero creo que esa secuencia es diferente de Números de Hamilton y no pude encontrar ninguna relevante).

Answer 1

La noción moderna de dimensión esencial de un grupo ofrece una forma precisa de plantear su pregunta (y generalizaciones), y hay algunos trabajos recientes que amplían el trabajo mencionado en la respuesta de Scott. Para empezar, consulte el artículo

J. Buhler y Z. Reichstein, Sobre la dimensión esencial de un grupo, Compositio Math. 106 (1997), 159-179.

Por ejemplo, allí se demuestra que para polinomios de grado $n$ al menos $\lfloor n/2 \rfloor$ se requieren coeficientes. (Esto concuerda con lo mencionado para $n=5$ y $n=6$ .)

Answer 2

Puede echar un vistazo a Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard ( Archivo de Internet ). Da detalles más explícitos sobre por qué se pueden eliminar los tres primeros términos después del término principal (cubriendo los casos de grado 5 y 6 que mencionas arriba), pero se concentra en el grado 5.

Hamilton's Papel de 1836 ( Archivo de Internet ) sobre el trabajo original de Jerrard contiene una explicación elemental de la técnica (gran parte del artículo se centra en demostrar que otras reducciones propuestas por Jerrard, incluida la de un polinomio general de grado 6 a uno de grado 5, eran "ilusorias"). También explica el truco de Jerrard para eliminar los términos 2º, 3º y 5º. Por último, Jerrard tiene un método para eliminar los términos segundo y cuarto, al tiempo que lleva los coeficientes tercero y quinto a cualquier razón especificada: esto sólo funciona en grado 7 o superior (Jerrard había pensado erróneamente que esto funcionaba en general, y por lo tanto resolvió el quíntico general reduciéndolo a la forma resoluble de de Moivre -- ¡todo esto es anterior al trabajo de Abel!)

Si por forma "Bring-Jerrard" se entiende simplemente que se ha eliminado un cierto número de términos iniciales (después del primero), entonces los números de Hamilton que has enlazado son exactamente lo que quieres.