¿Cuándo son proyectivos los cocientes GIT?

Question

Información general sobre GIT

Supongamos que G es un grupo reductor que actúa sobre un esquema X. A menudo queremos entender el cociente X/G. Por ejemplo, X podría ser algún espacio paramétrico (como el espacio de posibles coeficientes de algunos polinomios que recortan cosas que te interesan), y la acción de G sobre X podría identificar "cosas isomorfas", en cuyo caso X/G sería el "espacio moduli de clases de isomorfismo de esas cosas".

Ocurre que el cociente X/G a menudo no existe, o es en cierto sentido malo. Por ejemplo, si los cierres de dos órbitas G se cruzan, entonces esas órbitas deben ser mapeadas al mismo punto en el cociente, pero realmente nos gustaría ser capaces de distinguir esas órbitas G. Para remediar la situación, la idea es eliminar de alguna manera el "lugar malo" donde los cierres de las órbitas podrían intersecarse. Por razones en las que no entraré, esto se hace mediante la elección de un Haz de líneas G-linealizado L sobre X (es decir, un haz de líneas L que tiene una acción de G que es compatible con la acción sobre X). Entonces definimos la semiestable y estable loci

X ss (L) = {x∈X|hay una sección invariante s de alguna potencia tensorial de L tal que x∈X _s (el lugar no evanescente de s) y X _s es afín}
X s (L) = {x∈X ss (L)| la acción inducida de G sobre X _s es cerrada (todas las órbitas son cerradas)}

Tenga en cuenta que X ss (L) y X s (L) son invariantes de G. Entonces el resultado básico es el Teorema 1.10 de Teoría geométrica invariante :

Teorema. Existe un buen cociente de X ss (L) por G (normalmente denotado X// _L G, creo), y existe un cociente geométrico (incluso mejor que bueno) de X s (L) por G. Además, L desciende a un haz de líneas amplio en estos cocientes, por lo que los cocientes son cuasi-proyectivos.

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Mi pregunta

¿Hay algunas condiciones que pueda poner en G, X, L, y/o la acción/linearización para asegurar que el cociente X// _L G o X s (L)/G es proyectivo?

Parte del atractivo de la maquinaria GIT es que el cociente es automáticamente cuasi proyectivo, por lo que hay una elección natural de compactificación (el cierre proyectivo). El problema es que luego hay que encontrar una interpretación modular de la compactificación para poder calcular algo. ¿Existe algún entorno general en el que se sepa que el cociente ya será compacto? Si no es así, ¿hay que inventar un truco ingenioso para demostrar que un espacio de moduli es compacto cada vez, o se usa siempre el mismo truco básico?

Answer 1

No estoy seguro de si esto es lo que busca, pero se puede decir lo siguiente.

Supongamos que trabajamos sobre un campo base $k$ . Si $X$ es propio sobre $k$ y el $G$ -gavilla invertible linealizada $L$ es amplio en $X$ entonces el cociente categórico uniforme de $X^{ss}(L)$ por $G$ es proyectiva y por tanto da una compactificación natural de $X^s(L)/G$ .

Creo que esto se menciona en el libro de Mumford, pero no se aporta ninguna prueba. Pasa por considerar $\operatorname{Proj}R_0$ donde $R_0$ es el subring de secciones invariantes de $$\bigoplus_i H^0(X,L^{\otimes i})$$ y demostrando que éste es el cociente.

Así se establece en el teorema 1.12 en estas notas de Newstead. No he encontrado una demostración escrita, pero no creo que sea muy difícil demostrarlo directamente o reducirlo al caso del espacio proyectivo.

Answer 2

Si su espacio de moduli deseado puede interpretarse como un espacio de moduli de representaciones de carcaj, entonces puede que esté de suerte. Para moduli de $\theta$ -representaciones (semi)estables del carcaj, existe un criterio sencillo equivalente a que los loci estables y semiestables sean iguales: el vector dimensión $\alpha$ es indecomponible (es decir, no es una suma no trivial de elementos) en $\theta^\perp\cap \mathbb Z^{Q_0}_{\geq 0}$ donde $Q_0$ es su conjunto de vértices, y $\theta$ es el parámetro fijo de estabilidad.

Para saber más sobre los módulos de las representaciones del carcaj, recomiendo el artículo de King " Módulos de representaciones de álgebras de dimensión finita " ( MR ).

Answer 3

¿Es la respuesta "cuando no hay funciones invariantes no constantes" demasiado estúpida? (Por construcción, las funciones en el cociente GIT son funciones globales invariantes en $X$ ). Porque eso parece demostrar que $X$ proyectivo implica $X^{ss}(L)/G$ proyectivo.

Answer 4

Como señala Greg Stevenson si X es proyectivo entonces $X^{ss}//G$ es proyectivo. Ahora bien, si $X^s = X^{ss}$ entonces claramente $X^s//G$ también es proyectiva. Esto es cierto para los espacios generales. Se puede encontrar una prueba en el libro de Newstead "Introduction to Moduli problems and orbit spaces". En el entorno del carcaj, por supuesto, el espacio X es una variedad afín. Aquí para cualquier condición de estabilidad $\theta$ , $X^{ss}//_{\theta}G$ es proyectivo sobre $X//G = Spec(C[X]^G)$ . También incluso en el caso de la variedad quiver un criterio para estable = semiestable parece difícil y ni siquiera estoy seguro de si se conoce uno.