Intento entender la prueba de Milnor de la existencia de 7 esferas exóticas.
Milnor encuentra sus ejemplos entre $S^{3}$ paquetes sobre $S^{4}$ (con grupo estructural $SO(4)$ ). Un haz de este tipo puede describirse del siguiente modo:
Dado $M$ , an $S^{3}$ haz sobre $S^{4}$ si restringimos $M$ al hemisferio norte (o sur) del $S^{4}$ debe trivializarse ya que cada hemisferio es contractible. Por lo tanto, podemos construir $M$ especificando, para cada punto $p$ en $S^{3}$ = ecuador de $S^{4}$ = intersección de los hemisferios norte y sur, un elemento de $SO(4)$ que pega $p\times S^{3}$ en el hemisferio norte a $p\times S^{3}$ en el hemisferio sur.
Esto define una función $f:S^{3}\rightarrow SO(4)$ que se conoce como función de embrague para $M$ . Según la teoría habitual de haces de fibras, el tipo de isomorfismo de $M$ sólo depende de la clase de homotopía de $f$ .
$SO(4)$ está doblemente cubierto por $S^3\times S^3$ y, por tanto $\pi_3(SO(4)) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ . Así, $f$ está realmente determinada (al menos, hasta la homotopía) por un par ordenado de enteros (i,j).
Ahora, como los haces tienen estructura de grupo $SO(4)$ tiene sentido hablar de las clases Pontryagin de $M$ . En la prueba de Milnor de la existencia de esferas exóticas, necesita argumentar que $p_1(M) = \pm 2(i-j)$ . Su primer paso en este argumento es que "claramente $p_1(M)$ es una función lineal de $i$ y $j$ ."
Para mí está claro que las clases de Pontragin asociadas a $(ni, nj)$ para $n\in \mathbb{Z}$ dependerá linealmente de $n$ . Porque, si dejamos que $N_{i,j}$ denotan el principal $SO(4)$ haz sobre $S^{4}$ correspondiente a $(i,j)$ entonces $N_{ni,nj}$ se obtiene claramente como el pullback de $N_{i,j}$ a través de un título $n$ mapa de $S^{4}$ a sí misma.
Sin embargo, no me queda claro por qué $p_1(M)$ es aditivo en $(i,j)$ . ¿Me estoy perdiendo algo sencillo?
Y ya que hablamos de ello, ¿es más cierto? Es decir, para cualquier haz de esferas sobre una esfera, digamos, $S^{k}\rightarrow E\rightarrow S^{n}$ ¿Deben ser lineales las clases características (Pontryagin, Stiefel-Whitney, Euler) en términos de la función de embrague?
Por ejemplo, podemos pensar en $p_1$ como un mapa de $\pi_{n-1}(SO(k+1))\rightarrow H^{4}(S^{n})$ . ¿Es este mapa un homomorfismo? ¿Y para las otras clases características?
