En un espacio métrico $X$ supongamos que $\exists y,z$ s.t. $d(x,y)=1, d(x,z)=2,$ pero $\nexists w\in X$ s.t. $d(x,w)=3/2$ . Prueba $X$ está desconectado.

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico con métrica $d$ y que $x\in X.$ Supongamos que existe $y,z\in X$ con $d(x,y)=1$ y $d(x,z)=2,$ pero no existe $w\in X$ con $d(x,w)=3/2.$ Prueba $X$ no está conectado.

Pruebas. Afirmamos que la bola $B_{3/2}(x)$ es a la vez cerrado y abierto en $X$ pero no está vacío, ni $X$ sí mismo. Dado que $x\in B_{3/2}(x)$ por lo tanto $B_{3/2}(x)\neq \emptyset$ y puesto que $d(x,z)>3/2$ el punto $z\notin B_{3/2}(x)$ así que $B_{3/2}(x)\neq X.$ A continuación, claramente $B_{3/2}(x)$ es abierto, por lo que basta con demostrar también $B_{3/2}(x)$ está cerrado. Sea $y\in X\setminus B_{3/2}(x).$ Entonces, por definición $d(x,y)\geq 3/2,$ pero como no existe $w\in X$ con $d(x,w)=3/2$ debe ser que $d(x,y)> 3/2.$ Establecer $\delta=\frac 12 d(x,y)-\frac 32,$ y luego $\delta>0$ con $B_\delta (y) \subset X\setminus B_{3/2}(x).$ Por lo tanto $X\setminus B_{3/2}(x)$ está abierto, por lo que $B_{3/2}(x)$ está cerrado y $X$ no está conectado. $\Box$

¿Es correcto?

Answer 1

Brevemente, sí, ¡eso suena perfecto!

Otra forma de verlo: la función $f: t \mapsto d(x, t)$ es continua. Así que $X - B_{3/2}(x) = f^{-1}(3/2, \infty)$ está abierto, al igual que $B_{3/2}(x) = f^{-1}[0, 3/2)$ está abierto. Así que eso te da una desconexión.