hallar el coeficiente de $x^{25}$

Question

Hallar el coeficiente de $x^{25}$ en $(x+ 2x^{2} + 3x^{3} +..) (x^{3}+x^{4}+x^{5}+..)^{6}$

cuando estoy tomando $x$ fuera estoy obteniendo un coeficiente de $x^{19}$ .. ¿Puede alguien echar una mano, por favor? gracias

Answer 1

Utilizando funciones generadoras, el coeficiente que nos interesa es $$[x^{25}]\left(x\frac d{dx}\frac1{1-x}\right)\left({x^3\over1-x}\right)^6 = [x^{25}]{x\over(1-x)^2}{x^{18}\over(1-x)^6} = [x^6]{1\over(1-x)^8} = \binom{13}6.$$ La última igualdad procede del Teorema Binomial generalizado .

Answer 2

Para resolver sistemáticamente esta cuestión, es necesario utilizar la serie binómica, que es una extensión del teorema del binomio a potencias enteras negativas. Empezando por la serie geométrica que debe reconocer en el segundo factor, $$ (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+... $$ obtienes $$ (1-x)^{-d}=(1+x+x^2+x^3+...)^d=\sum_{n=0}^\infty\binom{n+d-1}{d-1}x^n \\ =1+dx+\frac{d(d+1)}2x^2+\frac{d(d+1)(d+2)}6x^3+... $$ Especialmente se puede reconocer que el primer factor se puede identificar como $$ x+2x^2+3x^3+... = x(1-x)^{-2}. $$

Entonces el producto es igual a $$ x^{1+6\cdot 3}(1-x)^{-2-6}=x^{19}\sum_{n=0}^\infty\binom{n+7}{7}x^n, $$ de modo que el coeficiente que hay que evaluar es $$ \binom{13}7=\binom{13}6=\frac{13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8}{1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6}=13⋅12⋅11=1716. $$

Answer 3

Después de la edición de OP.

Pista 1: Es equivalente a: $$[x^{25}](x+2x^2+3x^3+\cdots)(x^3+x^4+x^5+\cdots)^{\color{red}6}=\\ [x^{25}]x^{19}(1+2x+3x^2+\cdots)(1+x+x^2+\cdots)^6=\\ [x^6](1+2x+3x^2+\cdots)(1+x+x^2+\cdots)^6$$

Pista2: Los pares de potencias de $x$ son: $$(0,6),(1,5),(2,4),...,(6,0)$$ Pista 3: $$[x^6](1+2x+3x^2+\cdots)\left(\frac1{1-x}\right)^6=\\ [x^6](1+2x+3x^2+\cdots)(1-x)^{-6}\stackrel{*}=\\ [x^6](1+2x+3x^2+\cdots)\sum_{i=0}^{\infty} {5+i\choose i}x^i=\\ \small{1\cdot {11\choose 6}+2\cdot {10\choose 5}+3\cdot {9\choose 4}+4\cdot {8\choose 3}+5\cdot {7\choose 2}+6\cdot {6\choose 1}+7\cdot {5\choose 0}}= 1716.$$ Nota: En $\stackrel{*}=$ se utilizó Teorema del binomio negativo .

Answer 4

La secuencia es $$S(x)=[(x+2x^2+5x^3+...)(x^3+x^5+x^4+...)^6]= \left(\frac{x}{(1-x)^2} \frac{x^{18}}{(1-x)^{6}}\right)=\left(\frac{x^{19}}{(1-x)^8}\right).$$ Entonces coeficiente de $x^{25}$ en $S(x)$ es el coeficiente de $x^6$ en $(1-x)^{-8}$ que por series binomiales infinitas es ${-8 \choose 6}={13 \choose 6}.$ Tenga en cuenta que $$(1+z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty} {-n \choose k} ~z^k, ~|z|<1$$

$${-n \choose k}=(-1)^k {n+k-1 \choose k}$$

Answer 5

$$(x+ 2x^{2} + 3x^{3} +..) (x^{3}+x^{4}+x^{5}+..)^{6}$$ $$=x^{18}\dfrac{x}{(1-x)^2}\dfrac{1}{(1-x)^6}$$ $$=x^{19}\dfrac{1}{(1-x)^8}$$

La función generadora $$\frac1{(1-x)^k}=\sum_\limits{n=k-1}^\infty \binom{n}{k-1}x^{n-k+1}$$

significa que queremos $n-8+1=6$ y así $n=13$ .

Por lo tanto, la respuesta es $\binom{13}{8-1}=1716$ .