Quiero estimar los parámetros $\mu_i$ y $\sigma^2_i $ de una mezcla contable de gaussianos con supuestos pesos iguales, varianza y medias idénticamente espaciadas. Inicialmente pensé que las transformadas de Fourier de una muestra iid de la mezcla mencionada daría sobre otra gaussiana en el espacio de fase, pero cuando se calcula en matlab obtengo un pico agudo de distribución espectral. He utilizado una función de ventanas gaussianas, así que no entiendo por qué la densidad espectral de potencia tiende a ser ilimitada en fase cero.
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Sergio Acosta
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Si las gaussianas se limitan a ser de formas y distancias iguales, entonces se tiene una función theta escalada o la convolución de una gaussiana con una función sha (Ш) o un peine de Dirac escalado. Ш es una suma de funciones delta igualmente espaciadas, y la transformada de Fourier de Ш es otra función Ш, normalmente con diferentes espaciamientos y amplitudes dependiendo de tus convenciones. Como la transformada de Fourier de una gaussiana es una gaussiana, la transformada de Fourier de tu función es una suma de funciones delta igualmente espaciadas cuyas amplitudes muestrean una densidad gaussiana, algo así como $$\beta \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi^2 z^2/\sigma - 2 \pi i x_0 z}\delta(z-n/\alpha)$$
donde los parámetros $\alpha, \beta, \sigma,$ y $x_0$ vienen determinados por los parámetros de su distribución y sus convenciones de Fourier.
En particular, existe una función delta en $0$ . Es de esperar que esto ocurra cuando se tiene una función periódica cuya media a lo largo de un período no es $0$ .
El espaciado de las gaussianas se puede leer a partir del recíproco del espaciado entre las funciones delta de la transformada de Fourier, y la forma en que cae la amplitud determina la forma de la gaussiana.
Dicho esto, encontrar los parámetros de una mezcla gaussiana finita es un problema extremadamente común cuando los componentes no están obligados a tener las mismas formas y espaciamientos. Esto se debe a que las mezclas gaussianas son uno de los modelos estándar utilizados en el aprendizaje automático. Las gaussianas están localizadas, por lo que no hay una gran diferencia entre la suma de las gaussianas con centros cercanos y la función completa. Así que, en la práctica, si tienes valores (ruidosos) de tu función, en lugar de tomar la transformada de Fourier, puedes utilizar alguna de estas herramientas, y luego proyectar el mejor ajuste en el espacio de funciones theta escaladas. El algoritmo EM (maximización de la expectativa) es un método común, y usted debería ser capaz de encontrar muchos Aplicaciones Matlab .
