¿Existe una fórmula clara para el volumen de un tetraedro en $S^3$ ?

Question

Existe una buena fórmula para calcular el área de un triángulo en una esfera bidimensional; Si el triángulo es la intersección de tres medias esferas, y tiene ángulos $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ y normalizamos el área de toda la esfera para que sea $4\pi$ entonces el área del triángulo es $$ \alpha + \beta + \gamma - \pi. $$ La prueba es una bonita aplicación de la inclusión-exclusión de tres conjuntos, e implica el hecho de que que el área que queremos calcular aparece en ambos lados de la ecuación, pero con signos opuestos.

Sin embargo, al intentar copiar la prueba a la esfera tridimensional, la paridad va en la dirección equivocada y se obtiene 0=0.

¿Existe una fórmula sencilla para el volumen de la intersección de cuatro semiesferas de $S^3$ en términos de los 6 ángulos entre los cuatro hiperplanos delimitadores?

Answer 1

Sobre el volumen de un tetraedro hiperbólico y esférico de Murakami y Yano. El volumen se obtiene como combinación lineal de dilogaritmos y cuadrados de logaritmos. El origen de su fórmula es realmente interesante: Asintótica de la cuántica $6j$ símbolos. (Estas asíntotas también han sido estudiadas por muchas otras personas: D. Thurston, Roberts (Woodward, Frohman, Kania-Bartoszynska, etc.)

Nótese que la fórmula tridimensional tiene que ser mucho más complicada. La fórmula bidimensional proviene de la característica de Euler y de Gauss-Bonnet, pero la característica de Euler de la 3-esfera, o de cualquier colector impar-dimensional, desaparece. De hecho, todas las clases características de una 3-esfera desaparecen, porque el haz tangente es trivial. No puede haber un tratamiento puramente lineal de volúmenes en espacios isótropos en dimensiones Impares. En dimensiones pares, siempre hay una extensión puramente lineal desde dimensiones inferiores utilizando Gauss-Bonnet generalizado.

Answer 2

Buena respuesta, Greg. Miré el documento enlazado y me intimidó lo suficiente. Sólo quiero señalar, de nuevo, que para aquellos (como yo) que tienen fobia a la geometría diferencial, y por lo tanto no quieren utilizar (generalizado)Gauss-Bonnet, es fácil ver, utilizando la inclusión-exclusión, que la fórmula en dimensiones pares es una combinación lineal ordenada de de las fórmulas en dimensiones inferiores.