Me gusta mucho esta pregunta. Merece una respuesta, y me gustaría tener una buena. En su lugar, ofrezco la siguiente idea. ¿Quizá tenga algún mérito?
Fondo
Permítanme arreglar algo de terminología. Supongamos que $f:R\to S$ un homomorfismo de anillos (clásicos, conmutativos).
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Un elemento $s\in S$ se dice integral sobre $R$ si existe un polinomio mónico $p\in (R/\ker f)[x]$ tal que $s$ es una raíz de $p$ esto equivale a decir que el subring $(R/\ker f)[s]\subset S$ es finito sobre $(R/\ker f)$ .
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Decimos que $f$ es integralmente cerrado si es un monomorfismo y si cada elemento de $S$ que es integral sobre $R$ está en $R$ .
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En el extremo opuesto, decimos que $f$ es integralmente suryectiva si cada elemento de $S$ es integral sobre $R$ . (Esto resulta ser equivalente a ser un colímite de homomorfismos propios de presentación finita).
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Entre los homomorfismos integralmente suryectivos se encuentran los elemental homomorfismos integralmente suryectivos, es decir, homomorfismos de la forma $R\to (R/\mathfrak{a})[x]/(p)$ donde $R$ es de presentación finita, $\mathfrak{a}\subset R$ es un ideal finitamente generado, y $p$ es cualquier polinomio mónico.
La construcción clásica de cierre integral puede describirse ahora como una factorización única de cada homomorfismo $f:R\to S$ en un homomorfismo integralmente suryectivo $R\to\overline{R}$ seguido de un monomorfismo integralmente cerrado $\overline{R}\to S$ .
En el §3.6 del libro de Mathieu Anel (¡realmente genial!) papel describe este sistema de factorización y la "topología propia" que se construye a partir de él. En particular, observa que los monomorfismos integralmente cerrados son precisamente aquellos morfismos que satisfacen la propiedad única de elevación a la derecha con respecto a todos los homomorfismos elementales integralmente suryectivos.
Hacer que esto funcione para $E_{\infty}$ espectros anulares
Dado que ha expresado su interés en poner en marcha un cierre integral para $E_{\infty}$ espectros de anillo, trabajaré en ese contexto.
Podemos utilizar la teoría de Andre Joyal de los sistemas de factorización en ∞-categorías (véase §5.2.8 de Higher Topos Theory de Jacob Lurie) para intentar jugar a este mismo juego en la ∞-categoría $\mathcal{C}$ de conectivo $E_{\infty}$ espectros anulares. (Por razones que quedarán claras, me preocupa hacer que esto vuele para los espectros de anillo no conectivos. $E_{\infty}$ espectros anulares). Una vez que un conjunto $I$ de morfismos elementales integralmente suryectivos, los monomorfismos integralmente cerrados se determinan como la clase de mapas que son ortogonales por la derecha a $I$ y la construcción del cierre integral es un sistema de factorización en $\mathcal{C}$ .
Entonces, ¿qué debería $I$ ¿ser? Creo que aquí puede haber cierta flexibilidad, dependiendo de tus objetivos, pero aquí tienes una propuesta:
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Empezar con el conectivo coherente $E_{\infty}$ espectros anulares de presentación finita (sobre el espectro de la esfera). (Concretamente, se trata del conectivo $E_{\infty}$ espectros anulares $A$ con las siguientes propiedades: (1) $\pi_0A$ es de presentación finita, (2) para todo número entero $n$ , $\pi_nA$ es un módulo finitamente presentado sobre $\pi_0A$ y (3) el complejo cotangente absoluto $L_A$ es un perfecto $A$ -) Sólo necesitaremos estos tipos de $E_{\infty}$ espectros anulares en nuestra construcción de $I$ .
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Entre ellas $E_{\infty}$ espectros anulares, consideremos el conjunto $I'$ de todos los morfismos $A\to B$ de presentación finita que inducen una suryección sobre $\pi_0$ . Llamemos a los mapas de $I'$ cocientes .
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Ahora tenemos que ampliar $I'$ para permitirnos morfismos que actúan como si fueran de la forma $A\to A[x]/(p)$ para $p$ monic. Para cualquiera de nuestros conectivos $E_{\infty}$ espectros anulares $A$ podemos considerar cualquier $E_{\infty}$ - $A$ -álgebra $A[X]$ (es decir, el álgebra simétrica sobre alguna libre y finitamente generada $A$ -), y podemos considerar cocientes (en el sentido anterior) $A[X]\to B$ donde $B$ es casi perfecto como $A$ -(equivalentemente, $\pi_nB$ se presenta finitamente como una $\pi_0A$ -para cada número entero $n$ ); sumemos los compuestos resultantes $A\to A[X]\to B$ a nuestro conjunto $I'$ para obtener el conjunto $I$ .
Ahora los morfismos que son ortogonales a la derecha de $I$ puede llamarse monomorfismos integralmente cerrados de $E_{\infty}$ espectros anulares; llámese al conjunto de ellos $S_R$ . Los morfismos que son ortogonales a la izquierda pueden llamarse morfismos integralmente suryectivos de $E_{\infty}$ espectros anulares. El cierre integral sería un sistema de factorización $(S_L, S_R)$ . Se demuestra la existencia de una factorización (mediante un argumento de presentación), y se deduce del sinsentido general (más precisamente, 5.2.8.17 de HTT) que es única.
Tres observaciones
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No está claro que $I$ es lo suficientemente grande para todos los propósitos. Uno podría querer permitir desplazamientos de módulos libres para generar nuestros módulos finitamente generados y libres $E_{\infty}$ - $A$ -en la descripción anterior. No he pensado detenidamente en esto.
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No es tan obvio cómo hablar de cocientes $A\to B$ cuando se trata de tipos no conectivos. Uno quiere decir que la fibra (en la categoría de $A$ -) no es "más no conectivo que $A$ ." No sé muy bien cómo formular esto. En cualquier caso, por eso he restringido la atención a los conectivos de arriba.
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Como era de esperar, esto no es compatible con el cierre integral habitual: si tomo dos anillos clásicos $R$ y $S$ y un homomorfismo de anillo $R\to S$ el cierre integral de $HR$ en $HS$ no es en general un espectro de Eilenberg-Mac Lane. Si $R$ es un $\mathbf{Q}$ -Sin embargo, las dos nociones son compatibles.
Realizar cualquier cálculo
... parece muy difícil. Pero quizá no sea una sorpresa tan grande. Después de todo, los cierres integrales también son difíciles de calcular clásicamente.
