¿Tiene esta matriz entradas no negativas?

Question

Todas las desigualdades de este artículo se refieren a elementos. Considere un estocástico $n \times n$ matriz $P$ es decir $P \geq 0, P1 = 1$ donde $1$ es un vector de unos. Consideremos una matriz $A$ de tamaño $n \times m$ , $A \geq 0$ cuya extensión incluye el espacio de filas de $P$ . Por lo tanto, tenemos $AA^\dagger P^\top = P^\top$ donde $\dagger$ denota el pseudoinverso de Moore-Penrose. Supongamos además que $A$ tiene columnas independientes y $m < n$ .

¿Es cierto que $A^\dagger P^\top A \geq 0$ ?

Esta pregunta es una modificación de esta Correo electrónico: con un supuesto adicional sobre $A$ .

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Edición: También me interesa el caso en el que la estructura de $A$ se restringe adicionalmente de la siguiente manera: Las columnas de $A$ contienen una base para el espacio de columnas de $P^\top$ , seleccionados de las columnas de $P^\top$ también pueden contener otros vectores elementales no negativos.

Answer 1

No. Mi primer intento fue $$ P=\frac1{10}\pmatrix{1&9\\9&1}, \quad A=\pmatrix{1&5\\0&1}, \quad A^\dagger=\pmatrix{1&-5\\0&1} \quad A^\dagger P^TA=\frac1{10}\pmatrix{-44&-216\\9&46}\not\geq 0. $$ Ahora, por supuesto, ignoré el $m<n$ dictado. Permítanme que lo diga de boquilla. $$ P^T=\frac1{10}\pmatrix{1&9&5\\9&1&5\\0&0&0}, \quad A=\pmatrix{1&5\\0&1\\0&0}, \quad A^\dagger=\pmatrix{1&-5&0\\0&1&0} $$ y todavía tenemos $$ A^\dagger P^TA=\frac1{10}\pmatrix{-44&-216\\9&46}\not\geq 0. $$