Pregunta pedagógica sobre álgebra lineal

Question

El semestre pasado impartí una clase de álgebra lineal destinada a introducir a jóvenes estudiantes (de segundo y tercer curso) en las "matemáticas abstractas". Parece que un obstáculo conceptual importante para muchos de los estudiantes es entender la definición de un espacio vectorial. Más concretamente, un espacio vectorial es un conjunto de cosas con las que podemos realizar las operaciones de suma y multiplicación escalar. A pesar de mi enorme esfuerzo, muchos de los alumnos insistieron en que tiene sentido hacer cosas como "tomar la parte real/imaginaria" de un vector o mirar las componentes de un vector.

¿Qué estrategias le han resultado útiles para que los alumnos comprendan este tipo de definiciones?

He creado esta wiki comunitaria: por favor, edítala si la pregunta está mal formulada.

Answer 1

Esto es en parte redundante con las respuestas anteriores: se puede presentar a los alumnos un espacio vectorial que no tenga una base natural. Lo que me gustaría subrayar es que lo más sencillo es probablemente lo mejor, al menos para un primer ejemplo, y que lo más sencillo es tomar un plano vectorial en $\mathbb{R}^3$ . ¿Cuáles serían las dos coordenadas de un vector en $V=\{(x,y,z) | x+y+z=0 \}$ ?

Confieso que los estudiantes podrían estar tratando de pensar en estos vectores en $\mathbb{R}^3$ en lugar de en $V$ Así que este ejemplo puede explicar mejor la necesidad de una definición para una base.

Answer 2

Tal vez lo pasé por alto, pero no vi, en las respuestas anteriores, nada sobre una visión realmente geométrica de los vectores. Cuando introduzco los espacios vectoriales, me gusta utilizar vectores bidimensionales (flechas dibujadas en la pizarra, entendiendo que sólo importan la longitud y la dirección, no la ubicación en la pizarra), con definiciones geométricas de suma y multiplicación escalar. Por supuesto, es fácil explicar que estos vectores geométricos son "realmente lo mismo" que los vectores algebraicos de 2 componentes (es decir, elementos de $\mathbb R^2$ ), y también que la igualdad depende de la elección de un sistema de coordenadas. Este enfoque me proporciona un montón de analogías para cosas más complicadas que surgen más adelante en el curso.

Answer 3

Las ideas fijas que describes probablemente se originaron en cálculos anteriores de cálculo en los que los estudiantes estaban expuestos a "vectores a los espacios vectoriales.

Podrías intentar una descontaminación introduciendo primero grupos, anillos, campos y módulos, antes de proceder con los espacios vectoriales. Por supuesto Por supuesto, no sugiero convertir el curso en álgebra abstracta profundizando en la teoría de grupos o anillos. teoría de grupos o de anillos; basta con dar algunas definiciones, muchos ejemplos y algunos resultados inmediatos.

Veo las siguientes ventajas:

• los alumnos se encuentran con algo nuevo desde el principio, por lo que están menos propensos a caer en el modo "Oh, esto ya lo sé".

• Las definiciones posteriores, por ejemplo de un espacio vectorial, pueden basarse en las anteriores. y agruparlas en partes significativas.

• resultados como, por ejemplo, los teoremas de homomorfismo pueden darse varias veces en situaciones ligeramente diferentes.

El principal problema de este enfoque es el peligro de quedarse sin tiempo.