Pregunta pedagógica sobre álgebra lineal

Question

El semestre pasado impartí una clase de álgebra lineal destinada a introducir a jóvenes estudiantes (de segundo y tercer curso) en las "matemáticas abstractas". Parece que un obstáculo conceptual importante para muchos de los estudiantes es entender la definición de un espacio vectorial. Más concretamente, un espacio vectorial es un conjunto de cosas con las que podemos realizar las operaciones de suma y multiplicación escalar. A pesar de mi enorme esfuerzo, muchos de los alumnos insistieron en que tiene sentido hacer cosas como "tomar la parte real/imaginaria" de un vector o mirar las componentes de un vector.

¿Qué estrategias le han resultado útiles para que los alumnos comprendan este tipo de definiciones?

He creado esta wiki comunitaria: por favor, edítala si la pregunta está mal formulada.

Answer 1

Puede intentar poner el siguiente ejemplo: el conjunto de todos los positivo números reales, considerados como un espacio vectorial sobre el campo R, con la suma vectorial dada por la multiplicación y la multiplicación escalar dada por la toma de exponentes.

Como primer paso, podrías comprobar que esto satisface algunos de los axiomas del espacio vectorial, y luego dejar que los alumnos comprueben el resto (digamos, como deberes). A continuación, podría hacer preguntas como "¿cuál es la dimensión de este espacio vectorial?" o "dé un ejemplo de una transformación lineal (no trivial) de este espacio a R^3".

Answer 2

Hay un grupo importante de personas que entienden la noción de interfaz en informática, pero no entienden la abstracción en matemáticas. Para esas personas, vale la pena señalar que, de hecho, son la misma cosa (por ejemplo, si se trata de un curso de álgebra lineal para estudiantes de CS).

Muchos lenguajes de programación (por ejemplo, el comúnmente enseñado Java) soportan la noción de una interfaz que está separada de una implementación. Un ejemplo en wikipedia es la de una interfaz de depredador compartida por muchos tipos diferentes de depredador. Los estudiantes de CS suelen tener la idea (o al menos deberían tenerla) de que si escriben para la interfaz Predator, su código puede reutilizarse con cualquier depredador, pero que si utilizan detalles específicos de la implementación de un depredador concreto, su código no puede reutilizarse.

La situación es idéntica en matemáticas. Si escribes matemáticas para la "interfaz de espacios vectoriales", tus teoremas pueden reutilizarse para cualquier espacio vectorial. Pero si utiliza conocimientos específicos de una implementación subyacente (por ejemplo, sobre el conjunto específico $\mathbb{R}^n$ ) se pierde la posibilidad de reutilizar esos teoremas.

De hecho, incluso si la clase no se imparte a estudiantes de CS, merece una breve mención, ya que cualquier clase lo suficientemente grande de estudiantes de matemáticas está destinada a contener unos pocos que son expertos en informática.

Answer 3

Puedo compartir lo que hice teniendo en mente una preocupación similar, pero era para topología de conjuntos de puntos, no para álgebra lineal. No estoy seguro de cuánto de esto se puede trasladar al álgebra lineal, ya que las mentes de los estudiantes ya están llenas de ideas preconcebidas sobre lo que es un espacio vectorial, pero no sobre lo que es un espacio topológico.

Tras muchos años impartiendo clases de topología de conjuntos de puntos, observé que los estudiantes pensaban sistemáticamente en todos los espacios topológicos como $\mathbb{R}^n$ y que siempre querían utilizar bolas, aunque la topología no fuera metrizable. Por eso, cuando me tocó impartir mi propio curso de topología de conjuntos puntuales, intenté algo un poco radical: no hablé en absoluto de espacios métricos hasta más avanzado el curso.

Empecé con la motivación. El segundo día, definí las nociones de topología, homeomorfismo (pero no función continua) y convergencia de una secuencia. Luego hice primero sólo pequeños ejemplos finitos. Les di a los alumnos el siguiente ejercicio: 1) ¿Cuántas topologías se pueden definir en {0,1,2}; 2) ¿Cuántas de ellas producen espacios topológicos homeomorfos? y 3) ¿En cuántas de ellas la secuencia $0,1,0,1,0,1, \ldots$ convergen a $2$ ? Luego me aseguré de dar a los alumnos tiempo suficiente (y orientación) para resolver este ejercicio antes de pasar a cualquier otra cosa.

Quería obligar a los alumnos a aceptar la noción abstracta de topología y a no asustarse por ella (y a darse cuenta de que todo lo que hacemos en topología de conjuntos de puntos es lógico). Además, en este ejemplo, es imposible que un alumno intente utilizar bolas (sobre todo cuando no he hablado de bolas). Creo que ha funcionado bien.

Answer 4

Cada vez que he enseñado a alguien qué es un espacio vectorial, primero he dedicado algo de tiempo a explicar qué es un campo, incluyendo ejemplos de campos finitos. Es bastante difícil que alguien afirme que se puede tomar la parte real y la imaginaria de un vector si dices "Ahh, pero el campo en el que estoy pensando es $\mathbb{F}_2$ ¿Qué significa eso?" Siempre me ha parecido que ayuda a entender qué es un espacio vectorial ver primero qué es un campo, y adquirir algo de experiencia manipulando axiomas que nos son más familiares.

Answer 5

En Israel, las dos asignaturas obligatorias de matemáticas de primer curso de licenciatura son análisis real y álgebra lineal abstracta (creo que en Europa es igual). Se definen los campos antes que los espacios vectoriales, y se ponen como ejemplos $\mathbb{F}_p, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ .

Una vez que enseñes qué es una transformación lineal, tienes varios ejemplos que implican $\mathbb{F}_2$ procedentes de la informática; por ejemplo, el código Hamming.

No estoy afirmando que enseñar álgebra lineal abstracta de primer curso sea bueno (cuando yo era estudiante de licenciatura, la mitad de los alumnos suspendían matemáticas de primer curso), sólo que si lo haces debes tener algún no $\mathbb{R} / \mathbb{C}$ ejemplos.