Pregunta pedagógica sobre álgebra lineal

Question

El semestre pasado impartí una clase de álgebra lineal destinada a introducir a jóvenes estudiantes (de segundo y tercer curso) en las "matemáticas abstractas". Parece que un obstáculo conceptual importante para muchos de los estudiantes es entender la definición de un espacio vectorial. Más concretamente, un espacio vectorial es un conjunto de cosas con las que podemos realizar las operaciones de suma y multiplicación escalar. A pesar de mi enorme esfuerzo, muchos de los alumnos insistieron en que tiene sentido hacer cosas como "tomar la parte real/imaginaria" de un vector o mirar las componentes de un vector.

¿Qué estrategias le han resultado útiles para que los alumnos comprendan este tipo de definiciones?

He creado esta wiki comunitaria: por favor, edítala si la pregunta está mal formulada.

Answer 1

Creo que el álgebra lineal no es un buen tema para empezar si se quiere introducir a los estudiantes en las matemáticas abstractas: como todos los espacios vectoriales n-dimensionales (sobre R, digamos) son isomorfos a R^n, no es fácil decir qué se ha ganado con la abstracción. Por supuesto, algo definitivamente tiene se ha ganado, pero ese algo es difícil de explicar. Con los grupos finitos, en cambio, el papel de la abstracción es mucho más obvio: basta con presentar dos grupos bastante diferentes (como S_4 y el grupo de rotaciones del cubo) y demostrar que son isomorfos.

Answer 2

He abordado esta cuestión a un nivel ligeramente superior, cuando impartía clases de álgebra abstracta de segundo o tercer cuatrimestre para estudiantes de tercer y cuarto curso. Tenía en mente un propósito similar pero no idéntico, que era conseguir que los alumnos comprendieran realmente la diferencia entre un espacio vectorial real y uno complejo. La mejor solución que se me ocurrió fue enseñar algo más allá de lo que requiere estrictamente la comprensión de la diferencia.

Dado un espacio vectorial real $V$ defino su complejificación $V_\mathbb{C}$ y dado un espacio vectorial complejo $V$ defino su realización $V_\mathbb{R}$ . Por supuesto, la forma rápida convencional de establecer el primero es con un producto tensorial, pero sin esa idea aterradora, se puede definir prosaicamente $V_\mathbb{C}$ como $V \oplus iV$ dos copias de $V$ con una multiplicación definida por $i$ . Mientras tanto $V_\mathbb{R}$ es el mismo conjunto que $V$ pero con escalares restringidos. Estas definiciones pueden hacer pensar a los alumnos. Pueden considerar que la complejificación hereda las bases y no cambia las matrices, pero sí el conjunto de vectores. Por otro lado, la realización no cambia el conjunto de vectores, pero duplica la dimensión y requiere bases ampliadas. Estas cuestiones se desarrollan en términos muy similares en Arnold, Ecuaciones diferenciales ordinarias aunque con una notación diferente. (Tomé la idea de Milnor y Stasheff.) Arnold tiene el bonito ejercicio de calcular la realización de una matriz compleja, y también puedes preguntarte qué pasa con la traza y el determinante.

Otro par de ideas que resultan útiles para derrocar la idea de base de un conjunto son, (a) el espacio vectorial de combinaciones lineales formales de un conjunto, y (b) un cociente de dicho espacio vectorial por relaciones. Un ejemplo concreto es el espacio vectorial del color y el espacio vectorial reducido del color: $$\mathbb{R}[\{\text{red}, \text{green}, \text{blue}\}] \qquad \mathbb{R}[\{\text{red}, \text{green}, \text{blue}\}]/(\text{red}+\text{green}+\text{blue}).$$ Los alumnos no pueden elegir una base del segundo espacio vectorial sin romper una simetría que les gustaría mantener. Expresar la misma transformación lineal del espacio vectorial reducido del color en diferentes bases es esclarecedor.

Answer 3

Yo sugeriría el enfoque que adopta Tom Apostol en su libro de álgebra lineal. En el capítulo 1, tras introducir los espacios vectoriales abstractos, habla de Gram-Schmidt, e inmediatamente a las mejores aproximaciones. Al final del el primer capítulo, resuelve cuestiones como: "encontrar el polinomio de grado tres $p(x)$ que se aproxima a $\sin(x)$ mejor sobre $[2,3]$ en el sentido de minimizar el error $\int_2^3 (sin(x)-p(x))^2 dx$ .

Cuando leí esto por primera vez, me quedé asombrado. Antes sólo sabía matemáticas de bachillerato y cálculo básico, nada de matemáticas abstractas. El problema de la aproximación de una función por otra me parecía completamente irresoluble con las matemáticas que conocía entonces. Y, sin embargo, tenía una solución sencilla.

Y lo que es aún más sorprendente, la solución estaba delante de mí todo el tiempo. Si me hubieras preguntado cómo aproximar el vector $(1,2,3)$ por un vector cuya última coordenada era $0$ - Habría dicho inmediatamente $(1,2,0)$ . Sabía un poco de problemas de geometría, y el problema de encontrar el punto más cercano en un plano me parecía "fácil" y "natural". Y, sin embargo, esto es todo lo que requería la solución de este problema: todo lo que necesitaba era pensar en "vectores" o "puntos" de forma un poco más abstracta. un poco más abstracto. Estaba completamente convencido de las ventajas del enfoque abstracto.

Answer 4

Creo que la mejor manera de apreciar la abstracción es ver realmente ejemplos de espacios vectoriales que no sean $\mathbb{R}^n$ de ninguna manera obvia. Por ejemplo, todos los polinomios de grado $k$ tal que $p(0) = 0$ o todos simétricos $3 \times 3$ matrices. Para un ejemplo más sutil, subconjunto de un conjunto finito $X$ son un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/(2)$ tomando como $+$ la diferencia simétrica (hasta que uno se da cuenta de que esto es sólo $(\mathbb{Z}/(2))^n$ disfrazado). Hay que proponer a los alumnos muchos ejercicios con estos espacios vectoriales, para que se familiaricen.

Cuando la dimensionalidad finita no es necesaria, se puede hacer aún mejor. Por ejemplo, es muy agradable ver la derivada como ejemplo de un operador lineal, y si uno quiere tener un ejemplo de dimensión finita puede tomar el espacio vectorial de todas las soluciones de alguna ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. Incluso una particular, como $4f''' + 2f'' -f' -2 = 0$ lo hará. La derivada de una solución es una solución, de ahí que tengamos un endomorfismo lineal muy natural de este espacio. Y por cierto algo de álgebra lineal (por ejemplo la descomposición de Jordan o incluso menos) se puede utilizar para realmente resolver la ecuación.

Además creo que el hecho de que todos los espacios vectoriales sean isomorfos a $\mathbb{R}^n$ muestra el poder de la abstracción en su máxima expresión. Geométricamente, sólo necesitamos tener la intuición para un caso muy sencillo; pero luego las pruebas que demos se aplicarán a una plétora de otros casos inesperados.

Answer 5

Para entender una definición, muestre a los alumnos (a) muchos ejemplos, (b) muchos no-ejemplos y por qué no funcionan, (c) conceptos erróneos relacionados con la definición (por ejemplo, las coordenadas y las partes reales/imágenes no tienen significado intrínseco en un espacio vectorial abstracto) y (d) aplicaciones que utilicen la definición de forma productiva.

Además de mostrar a una clase cómo conceptos que creían que tenían sentido en entornos concretos (por ejemplo, la primera coordenada de un vector, o incluso que un vector tiene todas las coordenadas positivas) no tienen sentido en el entorno abstracto, muéstreles que otras cosas de las que han oído hablar sí tienen sentido en abstracto, por ejemplo, que el determinante, el polinomio característico y los valores propios tienen el mismo aspecto utilizando dos bases diferentes, y que esos son los conceptos realmente importantes. De lo contrario, tienen la idea de que toda su educación previa en álgebra lineal ya no sirve.

No se puede esperar que los alumnos capten enseguida la definición de un espacio vectorial abstracto, sino sólo con el tiempo, en función de lo que se haga con él. En la pregunta original no había ninguna indicación de lo que en realidad era hecho con espacios vectoriales abstractos. Una definición por sí sola inspirará a poca gente, sobre todo a una clase típica de licenciados en matemáticas con capacidades diversas. Una buena aplicación del álgebra lineal sobre $\mathbf Q$ es racionalizar un denominador no cuadrático (por ejemplo, $1/(1 + \sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4})$ y una buena aplicación del álgebra lineal sobre $\mathbf Z/2\mathbf Z$ es el algoritmo de factorización de tamiz cuadrático. No se trata de aplicaciones sin bases, pero sirven para ilustrar cómo pueden utilizarse las ideas del álgebra lineal en entornos que no tienen que ver directamente con "vectores concretos".