Prueba $f[A] \subseteq f[B] \Rightarrow A ⊆ B$ dado que f es inyectiva.

Question

He construido una prueba para la pregunta anterior, pero no sé dónde debo utilizar la hipótesis de inyectividad:

(Nota $X,Y$ sean conjuntos con $A,B X$ y $f:X \to Y $ .)

Sea $yf[A]$ entonces, existe $aA$ s.t. $f(a) = y$ . Desde $f[A] f[B]$ entonces, también tenemos $yf[B]$ y así, $f(a) f[B]$ . Concluimos $aB$ . Así, $aA \Rightarrow aB$ Así que $AB$ .

Answer 1

Supongamos que $x\in A$ . Entonces $y=f(x)\in f(A)$ y porque $f(A)\subseteq f(B)$ tenemos que $y\in f(B)$ . Por lo tanto, existe $w$ en $B$ tal que $f(w)=y=f(x)$ . Pero $f$ es inyectiva, por lo que $w=x$ y $x\in B$ como desee.

Answer 2

Intento:

Supongamos que $B \subset A$ ( $B$ subconjunto adecuado de $A$ ). ( $A$ \ $B \not = \emptyset$ )

Existe un $a \in A$ \ $B.$

$f(a) \in f(A$ \ $B) \subset f(A)$ es decir

$f(a) \in f(A)$ ;

desde $f$ es inyectiva: $f(a) \not \in f(B)$ ,

contradice la hipótesis $f(A)\subset f(B).$