He aquí un ejemplo sencillo de continuo de tamaño. Haga la construcción ordinaria del tercio medio del conjunto de Cantor, excepto que siempre que elimine el $n$ -ésimo (numerado por nivel y luego de izquierda a derecha, digamos) intervalo medio-tercero dejar en exactamente $n$ puntos de ese intervalo. Llamemos al conjunto resultante $X$ . Cualquier automorfismo de $X$ debe mapear (resp. izquierda-, derecha-) puntos aislados a (resp. izquierda-, derecha-) puntos aislados. Como hemos dejado un número diferente de puntos en cada intervalo del tercio medio, el automorfismo debe fijar cada punto interior de cada intervalo del tercio medio, así como sus dos puntos finales. Por densidad, se deduce que el automorfismo fija todos los puntos de $X$ .
Todos tus ejemplos están dispersos, he comprobado los de Rosenstein Ordenaciones lineales para ver si tenía algo bueno que decir sobre qué órdenes lineales dispersas son rígidas. Para mi consternación, esto es lo que encontré: "Estas consideraciones parecen hacer imposible un argumento inductivo (sobre $F$ -rango o $VD$ -rank) para determinar qué tipos dispersos son rígidos". (p. 133) Sin embargo, cita un resultado de Anne Morel ( Relaciones de ordenación que admiten automorfismos Fondo. Math. 54 (1964), 279-284.) que dice que un orden lineal $A$ no es rígida si y sólo si $A \cong A_1 + A_2\times\mathbb{Z} + A_3$ para algunas ordenaciones lineales $A_1,A_2,A_3$ con $A_2$ no vacío.
Ejemplos densos de subconjuntos rígidos de $\mathbb{R}$ sería interesante de ver. Probablemente no sea demasiado difícil de construir bajo CH. Pero un ejemplo ZFC podría tener que lidiar con barreras importantes como el resultado de Baumgartner de que Todos ${\aleph_1}$ -subconjuntos densos de $\mathbb{R}$ puede ser isomorfo Fondo. Math. 79 (1973), 101-106. Tal vez haya algunos ejemplos en este artículo clásico de Sierpinski Sobre los tipos de orden de los conjuntos lineales Fondo. Math. 37 (1950), 253-264.
Los tres documentos pueden consultarse en aquí .
Addendum (después del comentario de sdcvvc): En aras de la exhaustividad, incluyo una simplificación del argumento de Dushnik-Miller que produce un subconjunto denso $X$ de $\mathbb{R}$ que es rígido (aunque no el resultado más sólido de que $X$ no tiene autoinclusiones).
Para garantizar la densidad, el conjunto $X$ contendrá todos los números racionales. Nótese que un automorfismo $f$ de $X$ queda entonces completamente determinada por su restricción a $\mathbb{Q}$ . En efecto, puesto que $f[\mathbb{Q}]$ debe ser denso (en $X$ y) en $\mathbb{R}$ siempre tenemos
$f(x) = \sup\{f(q):q \in (-\infty,x)\cap\mathbb{Q}\} = \inf\{f(q):q \in (x,\infty)\cap\mathbb{Q}\}.$
Sólo hay $c = 2^{\aleph_0}$ mapas crecientes $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ con alcance denso. Sea $\langle f_\alpha:\alpha<c \rangle$ enumera todos estos mapas, excepto la identidad en $\mathbb{Q}$ .
Definiremos por inducción una secuencia $\langle (x_\alpha,y_\alpha) : \alpha<c \rangle$ de pares de números irracionales. En $x_\alpha$ serán puntos de $X$ mientras que el $y_\alpha$ estará en el complemento de $X$ . Para cada $\alpha$ tendremos $f_\alpha(x_\alpha) = y_\alpha$ (en el sentido de la definición inf/sup anterior).
Supongamos que hemos definido $(x_\beta,y_\beta)$ para $\beta<\alpha$ . Desde $f_\alpha$ no es la identidad, existe un $q$ tal que $f_\alpha(q) \neq q$ . Supongamos que $f_\alpha(q) > q$ (el caso $f_\alpha(q) < q$ es simétrico). Dado que el intervalo real $(q,f_\alpha(q))$ tiene tamaño $c$ y la ampliación de $f_\alpha$ a todos los $\mathbb{R}$ es inyectiva, siempre podemos elegir
$x_\alpha \in (q,f_\alpha(q)) \setminus(\mathbb{Q}\cup\{y_\beta:\beta<\alpha\})$
tal que $y_\alpha = f_\alpha(x_\alpha) \notin \mathbb{Q}\cup\{x_\beta:\beta<\alpha\}$ . Tenga en cuenta que $x_\alpha < f_\alpha(q) < y_\alpha$ así que $x_\alpha \neq y_\alpha$ .
Al final, tendremos
$\{x_\alpha: \alpha < c\} \cap \{y_\alpha : \alpha<c\} = \varnothing$
y cualquier conjunto $X$ tal que
$\mathbb{Q}\cup\{x_\alpha:\alpha<c\} \subseteq X \subseteq \mathbb{R}\setminus\{y_\alpha:\alpha<c\}$
es necesariamente rígido ya que $f_\alpha(x_\alpha) = y_\alpha \notin X$ para cada $\alpha<c$ .
