¿Por qué "isométrico" no forma parte de "isomorfismo"?

Question

Supongamos que tenemos dos espacios normados/métricos $X$ y $Y$ y supongamos $X$ y $Y$ son isométricamente isomórficas, lo que significa que existe un isomorfismo $T: X \rightarrow Y$ que también es una isometría. Este es el mapa más "bonito" posible entre estos espacios.

Sin embargo, si uno debe pensar en un isomorfismo en general como algo que "preserva la estructura", ¿por qué la propiedad de isometría no está simplemente contenida en la definición de un isomorfismo? ¿No cabría esperar que las distancias formaran parte de la estructura de un conjunto (con una función de distancia)?

En el "Análisis funcional" de Rudin, también escribe "isomorfismo isométrico" cuando es apropiado. Por lo que veo, ¿se trata de una noción general? ¿Puede alguien ayudar a arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Esto es, que yo sepa, un accidente histórico. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, se debe a la fusión de la categoría de espacios normados (con mapas de norma $\le 1$ ) con la categoría de espacios vectoriales topológicos; es un isomorfismo en esta última categoría pero no en la primera (y un isomorfismo en la primera es un isomorfismo isométrico).

Del mismo modo, las funciones continuas se definieron primero entre espacios métricos antes que entre espacios topológicos, y cuando hablamos de homeomorfismos de espacios métricos en realidad estamos trabajando con isomorfismos en la categoría de espacios topológicos. Pero los espacios métricos fueron los primeros y, del mismo modo, los espacios normados fueron los primeros.

Si desea saber mucho más sobre la historia de este lugar, le recomiendo la obra de Dieudonné Historia del análisis funcional .