Demostrar las fracciones no son enteros

Question

Probar que si $p$ $q$ son distintos de los números primos, a continuación, $\dfrac{pq-1}{(p-1)(q-1)}$ nunca es un número entero. Es igualmente cierto que si $p,q,r$ son distintos de los números primos, a continuación, $\dfrac{pqr-1}{(p-1)(q-1)(r-1)}$ también es nunca un número entero?

Creo que el uso de una aritmética modular argumento aquí es de ayuda. En otras palabras, debemos tener por primera fracción $pq-1 \equiv 0 \pmod{(p-1)(q-1)}$. Entonces estoy seguro de cómo proceder, ya que no podemos realmente utilizar el Teorema del Resto Chino.

Answer 1

Supongamos, por el bien de la contradicción, tan distintos $p$ $q$ existen. Primero de todo, observar que la declaración implica que $p-1|pq-1$. Así,

$$p-1|pq-1-q(p-1) \implies p-1|q-1$$

Del mismo modo obtenemos,

$$q-1|p-1$$

Estas observaciones implican que $p-1 = q-1$. Esto implica que $p = q$. Contradicción. Ellos no son diferentes.

Answer 2

Voy a suponer que $p \le q$, no sólo $p < q$. También, usted no necesita la asunción acerca de primalidad.

Voy a demostrar que las únicas soluciones son $p=q=2$ y $p=q=3$.

Si $p=2$ entonces $\dfrac{pq-1}{(p-1)(q-1)} =\dfrac{2t-1}{q-1} =\dfrac{2t-2+1}{q-1} =2+\dfrac{1}{q-1}$ que no es un número entero a menos $q = 2$.

Si $p=3$ entonces

$\begin{array}\\ \dfrac{pq-1}{(p-1)(q-1)} &=\dfrac{3q-1}{2(q-1)}\\ &=\dfrac{3q-3+2}{2q-2}\\ &=\dfrac32+\dfrac{1}{q-1}\\ \end{array}$

que no es un número entero si $q \ge 4$. Si $q=3$, entonces $\dfrac{pq-1}{(p-1)(q-1)} =\dfrac{3\cdot 3-1}{2\cdot 2} =2$ que es un entero.

Si $p > 3$ entonces

$\begin{array}\\ \dfrac{pq-1}{(p-1)(q-1)} &=\dfrac{pq-1}{pq-p-q+1}\\ &=\dfrac{pq-p-q+1+p+q-2}{pq-p-q+1}\\ &=1+\dfrac{p+q-2}{pq-p-q+1}\\ \end{array}$

así que estamos hecho si $p+q-2 <pq-p-q+1$ o $0 <pq-2p-2t+3 =(p-2)(p-2)-1$ y esto es cierto.

Answer 3

$$\frac{pq-1}{(p-1)(q-1)}-1=\frac1{p-1}+\frac1{q-1}$$ cannot be an integer, as the only possible values would be $2$ ($p=p=2$) or $1$ ($p=q=3$).

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Del mismo modo,

$$\frac{pqr-1}{(p-1)(q-1)(r-1)}-1\\ =\frac1{p-1}+\frac1{q-1}+\frac1{r-1}+\frac1{(p-1)(q-1)}+\frac1{(q-1)(r-1)}+\frac1{(r-1)(p-1)}$$ cannot be an integer for $p,q,r>4$ as the sum wouldn't exceed $\dfrac{15}{16}$.

El resto de posibilidades para$p<q<r$$2,q,r$$3,q,r$. El valor máximo de la suma se obtiene para $2,3,5$ y es igual a $\dfrac{21}8$, por lo tanto la única manera posible de valores enteros se $2$$1$.

Para ser continuado.

Answer 4

Para el primero, la expresión es igual a $1+1/(p-1)+1/(q-1).$ Si $p=2$ esto deja que $1/(q-1)$ es un número entero, pero aquí $q>2$ así que no hay casos. Así que si $2<p<q$ el primer caso es $p=3,q=5$ $1/2+1/4=3/4$ un entero, no así [demasiado pequeño], y para mayor $p,q$ las dos fracciones tienen incluso una suma menor.

Answer 5

Yves Daoust la respuesta que cubre los dos el primer caso, así como los tres-el primer caso, excepto cuando se $p \in \{2,3\}$. Aquí está una manera simple de prescindir de los restantes casos de forma eficiente:

Supongamos $\frac{pqr-1}{(p-1)(q-1)(r-1)}$ es un número entero. Entonces ni $q$ ni $r$ es congruente a $1$ mod $p$.

Esto es fácil de ver debido a que el numerador no es divisible por $p$, por lo que el denominador no puede tener factores de $p$.

La observación anterior elimina inmediatamente el caso a $p=2$. Para $p=3$, aspecto en el numerador y el denominador de mod $3$. El numerador es $2\pmod 3$, y así es el denominador (debido a $q$ $r$ debe $2$ mod $3$ por encima de la observación). Por lo tanto el cociente, si es un entero, debe ser $\equiv 1\pmod3$, y dado que es $>1$ debe $\ge 4$. Pero el cálculo en Yves de la respuesta de la muestra que no puede ser que los grandes.

[Tenga en cuenta que $q$ $r$ se ven obligados a ser $2 \pmod 3$ debido a que no pueden ser $0 \pmod 3$: esto es donde utilizamos el hecho de que $q$ $r$ son primos, por lo que el argumento es consistente con la existencia de la no-prime soluciones de $(2,4,8)$$(3,5,15)$.]