Cómo determinar la expansión de Laurent de $\tan{z}$ en torno a $z=0$ que es convergente en $z=\pi$

Question

Quiero determinar la expansión de Laurent de $\tan{z}$ en torno a $z=0$ que es convergente en $z=\pi$ (sólo las dos primeras legislaturas). Ahora sé que si $\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ entonces $$c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_K \frac{\tan(z)}{z^{n+1}}$$ Dónde tengo que elegir $K$ en el anillo $\frac{\pi}{2}<|K(t)|<\frac{3\pi}{2}$ . Esto significa que $$c_n=\text{Res}_{z=0}\frac{\tan(z)}{z^{n+1}}+\text{Res}_{z=-\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(z)}{z^{n+1}}+\text{Res}_{z=\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(z)}{z^{n+1}}$$

Sin embargo no estoy seguro de cómo puedo determinar estos residuos, sin conocer ya la expansión de Laurent de $\tan(z)$ . Sólo el residuo en $z=0$ es fácil, ya que la serie de Taylor "estándar" de $\tan(z)$ es válido allí. Sin embargo, en $z=\pm\frac{\pi}{2}$ No tengo ni idea de cómo podría enfocar esto.

Gracias

Editar: Usando Mathematica he descubierto que

$$\text{Res}_{z=-\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(z)}{z^{n+1}} = (-1)^{1-n}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n$$ $$\text{Res}_{z=\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(z)}{z^{n+1}} = -\left(\frac{2}{\pi}\right)^n$$ Pero no tengo ni idea de cómo encuentra esto. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Oke así que decidí simplemente brute-force esto para el residu en $z=\frac{\pi}{2}$ ( $z=-\frac{\pi}{2}$ es similar)

$$\begin{align} (z-\frac{\pi}{2})\tan{z-\frac{\pi}{2}}&=(z-\frac{\pi}{2})\frac{\sin{z-\frac{\pi}{2}}}{\cos{z-\frac{\pi}{2}}}\\ &=(z-\frac{\pi}{2})\frac{1-\frac{1}{2!}(z-\frac{\pi}{2})^2+\frac{1}{4!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots}{-(z-\frac{\pi}{2})+\frac{1}{3!}(z-\frac{\pi}{2})^3-\frac{1}{5!}(z-\frac{\pi}{2})^5\cdots}\\ &=-\frac{1-\frac{1}{2!}(z-\frac{\pi}{2})^2+\frac{1}{4!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots}{1-\lbrack\frac{1}{3!}(z-\frac{\pi}{2})^2-\frac{1}{5!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots\rbrack}\\ &=-\lbrack 1-\frac{1}{2!}(z-\frac{\pi}{2})^2+\frac{1}{4!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots\rbrack\lbrack 1+ \left(\frac{1}{3!}(z-\frac{\pi}{2})^2-\frac{1}{5!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots\right)+\left(\frac{1}{3!}(z-\frac{\pi}{2})^2-\frac{1}{5!}(z-\frac{\pi}{2})^4\cdots\right)^2+\cdots\rbrack\\ &=-1+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)(z-\frac{\pi}{2})^2\cdots \end{align}$$ Así que nos encontramos con que $$\tan{z}=-\frac{1}{z-\frac{\pi}{2}}+\cdots$$ Que es todo lo que realmente necesitamos saber, ya que es fácil ver que $$\frac{1}{z^{n+1}}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{n+1}+\cdots$$ Y así podemos concluir finalmente que efectivamente $$\text{Res}_{z=\frac{\pi}{2}}\frac{\tan{z}}{z^{n+1}}=-\frac{2^{n+1}}{\pi^{n+1}}$$ Y a partir de aquí se observa fácilmente que $$\text{Res}_{z=-\frac{\pi}{2}}\frac{\tan{z}}{z^{n+1}}=(-1)^n\frac{2^{n+1}}{\pi^{n+1}}$$ Y Así que encontramos para los primeros coeficientes:

$$c_{-3}=-\frac{\pi^2}{2}$$ $$c_{-1}=-2$$ $$c_{1}=1-\frac{8}{\pi^2}$$ $$c_{3}=\frac{1}{3}-\frac{32}{\pi^4}$$ $$c_{5}=\frac{2}{15}-\frac{128}{\pi^6}$$ Donde las fracciones positivas proceden de la $\text{Res}_{z=0}\frac{\tan{z}}{z^{n+1}}$ (que son más fáciles de determinar, ya que podemos utilizar la serie de Taylor estándar para $\tan$ dichos términos).