¿De qué otras maneras se encuentra una parábola "entre una elipse y una hipérbola"?

Question

¿De qué otras maneras se encuentra una parábola "entre una elipse y una hipérbola"?

En la página 122 del texto de cálculo de Gilbert Strangs escribe: "En toda la matemática, las parábolas están en la frontera entre las elipses y las hipérbolas".

La parábola es un término medio entre la elipse y la hipérbola:

1. Si cortamos un cono con un plano horizontal, obtenemos un círculo. Si inclinamos ligeramente el plano, obtenemos una elipse. Si inclinamos mucho el plano, obtenemos una hipérbola. Si inclinamos el plano de forma que su ángulo coincida con la pendiente del cono, obtenemos una parábola.

2. La ecuación $Ax^2+Bxy+Cy^2=1$ produce una hipérbola si $B^2 > 4ac$ una elipse si $B^2-4AC <0$ y una parábola si $B^2-4ac=0$

3. En la forma polar $r=\frac\ell{1+e\cos\theta}$ pasamos suavemente por una parábola cuando la excentricidad $e$ pasa a través de $1$ con un semi latus rectum fijo $\ell$ .

Sospecho que hay al menos otra forma de entender por qué pensamos que una parábola está entre una elipse y una hipérbola, quizás en términos de focos. Strang escribe que el "segundo foco de una parábola" se encuentra en el infinito, y no estoy muy seguro de por qué este tipo de pensamiento tiene sentido y si de alguna manera podemos relacionar este foco en el infinito con ser un caso intermedio de la definición de elipses e hipérbolas por sus focos.

Answer 1

Si alguna vez ha utilizado Programa espacial Kerbal u otro simulador de vuelos espaciales (o trabajar para la NASA como un verdadero científico de cohetes), te darás cuenta de que la velocidad de tu cohete alrededor de un planeta determinará la forma de su órbita proyectada. A veces se obtiene una órbita elíptica. Otras, una "órbita" hiperbólica. Si dispones las cosas sólo correcta, se puede obtener una órbita parabólica, y esa velocidad (conocida como velocidad de escape ) estará exactamente en el punto de transición entre las velocidades de la órbita elíptica y la órbita hiperbólica.

Answer 2

Otro caso que me viene a la mente se remonta a Apolonio de Perga, y la razón por la que dio a las cónicas esos tres nombres que seguimos utilizando hoy en día.

Si elegimos como $x$ el eje mayor de la cónica y como $y$ eje la recta tangente a la cónica en una de sus intersecciones con $x$ eje, las ecuaciones de la parábola, la elipse y la hipérbola pueden escribirse respectivamente como: $$ y^2=px,\quad y^2=px -{p\over d}x^2,\quad y^2=px +{p\over d}x^2, $$ donde $p$ es el latus rectum de la cónica y $d$ la longitud del eje mayor. Es decir (citando el comentario de Heath a Cónicas ):

si se erige una perpendicular al diámetro en esa extremidad del mismo a partir del cual $x$ es medido y de longitud $p$ entonces $y^2$ es igual [parábola] a un rectángulo de anchura $x$ y "aplicada" a la perpendicular de longitud p, o quedándose corto [elipsis] o excediendo [hipérbole] por un rectángulo similar y similarmente situado al contenido por $p$ y $d$ .

En la figura siguiente se puede ver que en el caso de una elipse: el área del cuadrado rojo ( $y^2$ ) es igual al área del rectángulo azul, obtenida restando del rectángulo $px$ el rectángulo verde, que está "similar y similarmente situado" al rectángulo grande $pd$ .

Answer 3

En geometría proyectiva, las hipérbolas, las elipses y las parábolas son esencialmente la misma cosa, se pueden transformar unas en otras con un cambio de coordenadas. Un círculo que está dentro de la línea en el infinito parece un círculo regular. Una que interseca la línea en el infinito se parece a una hipérbola. Si es tangente a la recta en el infinito, parece una parábola.

Answer 4

No sé si esto es realmente una respuesta, pero ante la duda...

4

En una parábola, los dos brazos "se hacen" (es decir, se aproximan) paralelos, mientras que en una hipérbola no.

5

Todas las parábolas tienen la misma forma sea cual sea su tamaño; todas las hipérbolas tienen formas diferentes.

6

Cuando un conjunto de puntos presentes en un plano equidistan de la directriz, una recta dada, y equidistan del foco, un punto dado que es fijo, se denomina parábola. Cuando la diferencia de distancias entre un conjunto de puntos presentes en un plano a dos focos o puntos fijos es una constante positiva, se denomina hipérbola. (Esto es realmente de libro de texto, no estoy seguro de que ayude aquí).

Sospecho que tal vez sólo punto 4 podría resultar útil para ver por qué las parábolas están en medio (teniendo en cuenta que las elipses degeneran en una única línea recta). Tal vez no. Por si acaso, lo borraré.