![enter image description here]()
La interpretación geométrica de este problema es que deseamos encontrar los valores extremos de la función "distancia-cuadrado-del-origen". $ \ f(x,y,z) \ = \ x^2+y^2+z^2 \ $ en la curva de intersección del elipsoide $ \ 25x^2 + 20y^2 + 4z^2 = 100 \ $ y el plano $ \ x + y - z = 0 \ \ . $ El gráfico de la izquierda presenta una vista "mirando hacia abajo" del $ \ x-$ eje hacia el origen.
Dado que la función y la ecuación del elipsoide tienen simetría respecto al origen, esperamos algún tipo de "reflejo" de los puntos extremos. La ecuación del plano de intersección $ \ z = x + y \ $ "rompe" un poco esta simetría. Si las coordenadas $ \ x \ $ y $ \ y \ $ tienen el mismo signo, entonces $ \ z \ $ también debe tener ese signo, es decir, los puntos serán $ \ (x,y,z) \ $ y $ \ (-x,-y,-z) \ $ . Si $ \ x \ $ y $ \ y \ $ tienen signos opuestos, el signo de $ \ z \ $ dependerá de la suma de esas coordenadas, pero los signos relativos de los puntos serán $ \ (x,-y,z) \ $ y $ \ (-x,y,-z) \ $ .
Resulta bastante cómodo plantear sistemas de ecuaciones de Lagrange utilizando uno o dos multiplicadores. Para un sistema de un multiplicador, insertamos $ \ z = x + y \ $ en nuestra función y la ecuación del elipsoide para obtener
$$ f(x,y,z) \ = \ x^2 + y^2 + z^2 \ \ \rightarrow \ \ \phi(x,y) \ = \ 2·(x^2 + y^2 + xy) $$ y $$ 25x^2 + 20y^2 + 4z^2 \ = \ 100 \ \ \rightarrow \ \ 29x^2 + 24y^2 + 8xy \ = \ 100 \ \ . $$
Las ecuaciones de Lagrange son entonces
$$ 4x + 2y \ = \ \lambda · (58x + 8y) \ \ , \ \ 4y + 2x \ = \ \lambda · (48y + 8x) \ \ . $$
Resolviendo esto para $ \ \lambda \ $ produce $$ \lambda \ \ = \ \ \frac{2x \ + \ y}{29x \ + \ 4y} \ \ = \ \ \frac{2y \ + \ x}{24y \ + \ 4x} \ \ \Rightarrow \ \ 8x^2 + 52xy + 24y^2 \ = \ 29x^2 + 62xy + 8y^2 $$ $$ \Rightarrow \ \ 21x^2 \ + \ 10xy \ - \ 16y^2 \ = \ 0 \ \ . $$
A primera vista, no parece muy útil, pero en realidad es la ecuación de una "hipérbola degenerada", un par de rectas que se cruzan. (Esto se puede averiguar trazando la ecuación o aplicando el criterio adecuado de cónicas degeneradas , $$ \ \det \left[ \begin{array}{cc} 21 & 10 \\ 10 & -16 \end{array} \right] \ < \ 0 \ \ . ) $$
La ecuación de la "curva" puede factorizarse como $ \ (3x - 2y) · (7x + 8y) \ = \ 0 \ \ , $ lo que nos da dos líneas a lo largo de las cuales se pueden encontrar los puntos extremos, $ \ y \ = \ \frac32 x \ $ y $ \ y \ = \ -\frac78 x \ \ . $ Así pues, tenemos dos posibilidades a considerar: insertando éstas en la ecuación del elipsoide se obtiene
$$ \mathbf{ y \ = \ \frac32 x \ :} \quad 29x^2 \ + \ 24·\left(\frac32 x\right)^2 \ + \ 8·x·\left(\frac32 x\right) \ = \ 95x^2 \ = \ 100 $$ $$ \Rightarrow \ \ x \ = \ \pm \frac{10}{\sqrt{95}} \ = \ \pm 1.026 \ \ , \ \ y \ = \ \pm \frac{15}{\sqrt{95}} \ = \ \pm 1.539 \ \ , \ \ z \ = \ \pm \frac{25}{\sqrt{95}} \ = \ \pm 2.565 \ \ ; $$
$$ \mathbf{ y \ = \ -\frac78 x \ :} \quad 29x^2 \ + \ 24·\left(-\frac78 x\right)^2 \ + \ 8·x·\left(-\frac78 x\right) \ = \ \frac{323}{8} \ x^2 \ = \ 100 $$ $$ \Rightarrow \ \ x \ = \ \pm \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{323}} \ = \ \pm 1.574 \ \ , \ \ y \ = \ \mp \frac{35\sqrt{2}}{2\sqrt{323}} \ = \ \mp 1.377 \ \ , \ \ z \ = \ \pm \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{323}} \ = \ \pm 0.197 \ \ . $$
Estos puntos están señalados en el gráfico de arriba a la derecha con flechas violeta y roja, respectivamente. (La vista "mira hacia arriba" a lo largo del $ \ z-$ eje hacia el origen).
Los valores extremos de la función "distancia al cuadrado" vienen dados entonces por
$$ \mathbf{ y \ = \ \frac32 x \ :} \quad 2·\frac{100}{95} \ + \ 2 · \left(\frac32 \right)^2 · \frac{100}{95} \ + \ 2·\left( \frac{10}{\sqrt{95}} \right) · \left( \frac32 · \frac{10}{\sqrt{95}} \right) \ = \ \frac{200+450+300}{95} \ \ = \ \ 10 $$ [ máximo absoluto ]
y
$$ \mathbf{ y \ = \ -\frac78 x \ :} \quad 2·\frac{800}{323} \ + \ 2 · \left(-\frac78 \right)^2 · \frac{800}{323} \ + \ 2·\left( \frac{20 \sqrt{2}}{\sqrt{323}} \right) · \left( -\frac78 · \frac{20 \sqrt{2}}{\sqrt{323}} \right) $$ $$ = \ \frac{1600+1225-1400}{323} \ \ = \ \ \frac{1425}{323} \ \ = \ \ \frac{3·5·5·19}{17·19} \ \ = \ \ \frac{75}{17} \ \ . $$ [ mínimo absoluto ]
Esto coincide con el trabajo de Michael Rosenberg y los cálculos de WolframAlpha.
$$ \ \ $$
Si establecemos un sistema con dos multiplicadores como has hecho tú (aunque yo prefiero utilizar $ \ \mu \ $ en lugar de una letra con subíndice), obtenemos
$$ 2x \ = \ \lambda·50x \ + \ \mu \ \ , \ \ 2y \ = \ \lambda·40y \ + \ \mu \ \ , \ \ 2z \ = \ \lambda · 8z \ - \mu \ \ , $$
utilizando $ \ 25x^2 + 20y^2 + 4z^2 = 100 \ $ como ecuación del elipsoide. Podemos empezar eliminando $ \ \mu \ $ entre las ecuaciones:
$$ \mu \ \ = \ \ 2x \ - \ 50·\lambda·x \ \ = \ \ 2y \ - \ 40·\lambda·y \ \ = \ \ 8·\lambda·z \ - \ 2z \ \ ; $$
resolviendo cada par de ecuaciones para $ \ \lambda \ $ se obtiene
$$ \lambda \ \ = \ \ \frac{x \ - \ y}{5·(5x \ - \ 4y)} \ \ = \ \ \frac{x \ + \ y}{4z \ + \ 25x} \ \ = \ \ \frac{y \ + \ z}{4·(z \ + \ 5y)} \ \ ; $$
si ahora multiplicamos en cruz cada par de cocientes sucesivamente (ninguno de los denominadores resultará igual a cero) y simplificamos las ecuaciones resultantes, obtenemos cada vez $ \ 5xy + 21xz - 16yz \ = \ 0 \ \ ! $ Ahora resolvemos esto para $ \ z \ $ y combinar el resultado con la ecuación de restricción del plano para hallar
$$ z \ \ = \ \ -\frac{5xy}{21x \ - \ 16y} \ \ = \ \ x \ + \ y \ \ \Rightarrow \ \ 21x^2 \ + \ 10xy \ - \ 16y^2 \ = \ 0 \ \ , $$
la ecuación de la hipérbola degenerada que encontramos anteriormente (la multiplicación cruzada es de nuevo "segura" aquí). En consecuencia, las dos soluciones son $ \ \ ( \ x \ , \ -\frac78 \ x \ , \ \frac18 \ x \ ) \ \ $ y $ \ \ ( \ x \ , \ \frac32 \ x \ , \ \frac52 \ x \ ) \ \ $ con el resto de los cálculos procediendo como antes.
