La propuesta $(11.6)$ de la Teoría Algebraica de Números de Neukirch establece que si $\mathcal O$ es un dominio dedekind con campo de fracciones $K$ y $X$ es un conjunto de ideales primos no nulos de $\mathcal O$ con complemento finito, existe una secuencia exacta canónica:
$\begin{eqnarray*} 1 \rightarrow U(\mathcal O) \rightarrow U(\mathcal O(X)) \rightarrow \bigoplus_{\mathfrak p\not\in X}K^*/U(\mathcal O_{\mathfrak p}) \rightarrow \mathscr C\ell(\mathcal O) \rightarrow \mathscr C\ell(\mathcal O(X)) \rightarrow 1, \end{eqnarray*}$
y que $K^*/U(\mathcal O_{\mathfrak p})\cong \mathbb Z$ para todo primo $\mathfrak p\not\in X$ .
Ahora dejemos que $\mathcal O_K$ sea el anillo de enteros de $K$ , dejemos que $S$ denotan un conjunto finito de ideales primos de $\mathcal O_K$ y que $X$ es el conjunto de todos los ideales primos que no pertenecen a $S$ . Ponemos $\mathcal O_K^S = \mathcal O_K (X)$ . Las unidades de este anillo se denominan $S$ -unidades.
(11.7) Corolario. Para el grupo $K^S = (\mathcal O_K^S)*$ de $S$ -unidades de $K$ existe un isomorfismo $K^S\cong \mu(K) \times \mathbb Z^{\# S+r+s-1}$ donde $r$ y $s$ son el número de imersiones reales y pares de imersiones complejas de $K$ .
La prueba de Neukirch es la siguiente:
Prueba: El subgrupo de torsión de $K^S$ es el grupo $\mu(K)$ de raíces de la unidad en $K$ . Desde $\mathscr C\ell(\mathcal O)$ es finita, obtenemos las siguientes identidades a partir de la exacta secuencia anterior y del Teorema de las Unidades de Dirichlet:
$rank(K^S)=rank(\mathcal O_K^*)+rank(\bigoplus_{\mathfrak p\in S}\mathbb Z)=\#S+r+s-1$ .
Supongo que la prueba utiliza ese resultado que relaciona secuencias exactas de $\mathbb Z$ -módulos y los rangos de estos módulos. Pero sólo encuentro
$rank~U(\mathcal O)-rank~U(\mathcal O(X))+rank~\mathbb Z^{\# S}-rank~\mathscr C\ell(\mathcal O)+rank~\mathscr C\ell(\mathcal O(X))=0$ .
El teorema de la unidad de Dirichlet da $rank~U(\mathcal O)=r+s-1$ ¿pero tengo alguna información sobre los rangos de los grupos de clase?
