La función delta de Dirac como estado inicial de la partícula libre cuántica

Question

Quiero preguntar si es razonable que utilice la función Dirac-Delta como estado inicial ( $\Psi (x,0) $ ) para la función de onda de la partícula libre e interpretarla de forma que diga que la partícula está exactamente en x=0 durante el tiempo t=0? Si utilizo este estado inicial, ¿puedo utilizarlo también para predecir cómo debería evolucionar la función de onda en el tiempo? Es decir, si $\Psi (x,0) = \delta(x) $ entonces, $$ \phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-ikx} dx=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} $$ entonces, $$ \Psi(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)} dk $$ o, $$ \Psi(x,t)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(kx-\omega t)} dk. $$

¿Es la anterior función de onda una expresión válida para ver cómo evoluciona en el tiempo una partícula que inicialmente está localizada en el origen?

Answer 1

Así es como se haría. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no hay nada que garantice que la solución vaya a ser razonable, o que la integral siquiera exista. De hecho, debido a que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo en gran medida, está esencialmente garantizado que no terminan en estados físicos.

Hay que tener en cuenta que la frecuencia $\omega=\omega(k)$ es una función del vector de onda $k$ a través de la relación de dispersión, que esencialmente codifica la ecuación de Schrödinger, como $\omega=E/\hbar=\hbar k^2/2m$ . Esto significa que el Estado \begin{align} \Psi(x,t) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m} t)} dk \\ & = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} dk . \end{align} Esta integral, como suele ocurrir, sí converge. Mientras $t\neq0$ es una integral de Fresnel y no necesita regularización para converger. (Por otra parte, sus propiedades de convergencia son distintas de las del caso regularizado: no es absolutamente convergente, y la uniformidad de la convergencia respecto a $x$ y $t$ es diferente). Una vez integrado, se obtiene $$ \Psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right]. $$ Observe, en particular, que esto es lo que se obtiene si se introduce $a=0$ en la función de onda inicial de Ruslan. Este es exactamente el procedimiento de regularización que puede ser útil, pero que no es estrictamente necesario.

Por supuesto, este estado no es físico, ya que $|\Psi(x,t)|^2\equiv\text{const}$ pero era de esperar. Lo sorprendente es que la amplitud es distinta de cero y constante para todo el espacio por pequeño que sea $t$ pero, de nuevo, es de esperar, ya que $\delta(x)$ contiene componente en cada momento, por alto que sea. Esta función tiene el siguiente aspecto:

Obsérvese que los componentes de mayor frecuencia se alejan cada vez más del origen. Esto es razonable, ya que estos momentos más altos viajan más rápido.

Ahora, la verdadera cuestión es si esta función es realmente una solución de la ecuación de Schrödinger. Se obtuvo por el procedimiento estándar con la esperanza de que funcionara, y de hecho si alguna solución funciona esperamos que sea ésta. Sin embargo, eso deja abierta la cuestión de si $$ \Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right]&t\neq 0\end{cases} $$ en realidad satisface la ecuación diferencial $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) $$ en ningún sentido útil (presumiblemente distributivo). Es decir dejado como ejercicio para el lector. ( Ejercicio real para el lector).

Answer 2

Considere la evolución de paquete de ondas gaussianas . Su función de onda en representación de posición tiene el siguiente aspecto:

$$\Psi(\vec r,t)=\left(\frac a{a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\vec r\cdot \vec r}{2(a+i\hbar t/m)}\right).\tag1$$

La densidad de probabilidad relativa correspondiente es $$P(r)=|\Psi|^2=\left(\frac a{\sqrt{a^2+(\hbar t/m)^2}}\right)^3\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right),\tag2$$

o, despreciando el coeficiente global dependiente del tiempo e independiente de la posición,

$$P'(r)=\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right).\tag3$$

Se obtiene una función de onda tipo delta de Dirac a partir de una gaussiana inicial cuando se toma el límite $a\to0$ . Pero para cualquier $t$ el límite de $(3)$ es

$$\lim_{a\to0}P'(r)=1,$$

es decir, en cualquier momento finito desde el inicio de la evolución su posición será completamente indeterminado. Así que ahora ya nada está realmente determinado, ni el momento ni la posición, por lo que tratar de encontrar la evolución de dicho estado es en gran medida inútil: no se puede predecir nada a partir de su estado final.

Answer 3

Quiero preguntar si es razonable que utilice la función Dirac-Delta como estado inicial ( $\psi(x,0)$ ) para la función de onda de la partícula libre e interpretarla de forma que diga que la partícula está exactamente en $x=0$ durante el tiempo $t=0$ ?

No, porque la función delta no se ajusta a la interpretación Born de la función $\psi$ . Función evolutiva que es función delta en $x$ a la vez $t_0$ no te dará la función de onda regular, pero te dará el propagador de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo. Esto se puede utilizar para expresar la función de onda regular en el tiempo $t$ como una integral de la función de onda en un tiempo anterior $t_0$ . Véase la sección "El propagador de partículas libres" en http://physwiki.ucdavis.edu/Quantum_Mechanics/1-D_Quantum_Mechanics/Time-Dependent_Solutions%3a_Propagators_and_Representations