Cómo comprobar si una transformación $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ¿es una cartografía de contracción?

Question

Sea $$(\forall x_1,x_2 \in \mathbb R) \qquad F \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{2}x_2 - 1 \\ \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{4}x_2 + 2 \end{bmatrix}.$$

¿Cómo compruebo que $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ¿es una cartografía de contracción? ¿Cómo encontrar el punto constante?

Sé cómo proceder en casos similares cuando se trata de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Compruebo supremum de la primera derivada. Pero no sé qué hacer aquí.

Si alguien me puede mostrar en el ejemplo anterior, sería genial.

Answer 1

Hay que calcular la derivada de $F$ denotémoslo por $dF$ y mostrar que su norma, considerada como un operador lineal de $R^{2} to R^{2}$ es inferior a $1$ . Esto es una consecuencia de una especie de teorema del valor medio que establece que, localmente, es decir, para pequeños $||h||$ $$F(x+h)-F(x) = (dF)h + o(||h||)$$ $dF$ es una matriz formada por las primeras derivadas de $F$ . En su caso tiene esta forma $$\begin{bmatrix} \frac{1}{4},\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \end{bmatrix}$$ Así, su norma, como máximo de sus valores en los vectores $x=(x_{1},x_{2})$ con $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} <=1 $ debe ser inferior a 1. En su caso, es fácil ver que la norma es $\frac{3}{4}$ .

Answer 2

$F$ es un mapa muy simple (es lineal+constante) así que puedes hacer el cálculo directamente. Para el primer componente, una simple aplicación de Cauchy Schwarz da \begin{align}|F_1(x)-F_1(y)|= \left|\frac14(x_1-y_1) + \frac12(x_2-y_2)\right| &\le \frac14|x_1-y_1| + \frac12|x_2-y_2| \\&=\binom{\frac14}{\frac12}\cdot \binom{|x_1-y_1|}{|x_2-y_2|} \\&\le \left|\binom{\frac14}{\frac12} \right|\left|\binom{|x_1-y_1|}{|x_2-y_2|} \right| \\ &= \frac{\sqrt 5}{4 }|x-y| \end{align} básicamente el mismo cálculo también da $|F_2(x)-F_2(y)|\le \frac{\sqrt 5}{4 }|x-y|$ . Entonces $$ |F(x)-F(y)|=\sqrt{|F_2(x)-F_2(y)|^2+|F_2(x)-F_2(y)|^2} \le \frac{\sqrt{10}}4|x-y|$$ y $\sqrt{10}/4 = \sqrt{10/16}<1$ por lo que es una contracción (utilizando la norma euclidiana).