Desde el punto de vista de un matemático, ¿cuál es el propósito de ' $dx$ ' en $\int f(x)\ dx$ ?

Question

He buscado un poco y he encontrado una explicación bastante bien escrita, pero al final, el autor señala que esta explicación parece funcionar bien para los propósitos de un físico, pero un matemático se quejaría de ella debido a las simplificaciones o inexactitudes.

Desde que publiqué este artículo, dos personas diferentes me han enviado un correo electrónico para decirme que los verdaderos matemáticos no hacen esto. Jugar con dx en las formas descritas en este documento es aparentemente uno de esos trucos que los físicos utilizan para dar dolores de cabeza a los matemáticos.

http://www4.ncsu.edu/unity/lockers/users/f/felder/public/kenny/papers/dx.html

También me confundí al leerlo porque mi profesor de Cálculo del semestre pasado dijo que la regla de la cadena

$$\frac{dy}{dz}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dz}$$

no pueden tratarse como fracciones, a pesar de que lo parezcan, y el $dx$ no se cancelaría entre los dos ya que no se puede hacer eso con los diferenciales. Pero este artículo decía justo lo contrario.

Answer 1

He oído decir a varios matemáticos que una cosa que no les gustaba de la física era el "abuso" de las matemáticas. Los físicos no son necesariamente malos matemáticos, sino que (en mi opinión) utilizan las matemáticas de forma diferente. Para ellos, la naturaleza precisa no está (siempre) en el centro de lo que hacen. Dado que el físico trabaja con el "mundo real", no suele trabajar con aproximaciones y, por tanto, no se interesa apasionadamente por la naturaleza exacta de las ecuaciones y demás (espero no haber ofendido a nadie).

Veo en el sitio al que das referencia, que la persona piensa en $dx$ como una cantidad finita. Habla, por ejemplo, de $x + dx$ como un número real. Esto no es necesariamente una mala manera de piense en sobre ello, pero de nuevo no es la definición exacta.

Sobre la integralidad: Cuando escribimos por ejemplo $$ \int_a^b f(x)\; dx $$ hemos definido este símbolo tal cual. No hemos definido el símbolo como compuesto por diferentes componentes individuales que podemos escribir por sí mismos. Por lo tanto, aunque $f(x)$ en la expresión sí tiene significado por sí misma, no podemos quitarla y escribir sin más: $$ \int_a^b dx. $$ Ahora bien, alguien podría utilizar esta notación de vez en cuando, pero en el "cálculo básico estándar" no se ha definido, y por tanto no tiene ningún significado. (No significa que podamos piense en de una manera determinada).

Ahora bien, todo esto no significa que no haya una lógica detrás de la elección de los diferentes componentes del símbolo. Así que, por supuesto, el $f(x)$ es la función El $a$ y el $b$ son los límites de la integral y el $dx$ nos dice que tratemos $x$ como variable (decimos que integramos con respecto a $x$ ). ¿Por qué es importante? Como se mencionó en otra respuesta, si se considera la integral $$ \int_{a}^{b} x^2y. $$ no sabrías si $x$ es la variable de $y$ es la variable (o si ambas son constantes). Por eso nos gusta "añadir" el $dx$ o $dy$ hasta el final.

Esta no es la única razón. La integral definida $$ \int_a^b f(x)\; dx $$ se define como un límite: $$ \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x. $$ Aquí $\Delta x$ es un número finito definido como $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ . Y tomando el límite $n\to \infty$ tenemos $\Delta x \to 0$ . Así que "pensamos" en $dx$ como este número infinitamente pequeño. Podemos "pensar" en el $\Delta$ como convertirse en el $d$ aunque el $dx$ no se puede escribir por sí solo.

Lo mismo ocurre con el derivado $$ \frac{dx}{dy}. $$ También aquí acabamos de definir este símbolo en el que las partes del símbolo ( $dx$ y $dy$ ) no están bien definidos por sí mismos.

Dicho esto, se puede hacer un significado (es decir, definir) de $dx$ Pero cuando se trata de cálculo básico, no solemos hacerlo.

También hay que tener en cuenta que algunos matemáticos se limitan a escribir $\int f(x)$ cuando quieren decir $\int f(x) \; dx$ porque es "obvio" que estamos integrando con respecto a $x$ .

Puede encontrar más cosas sobre el $dx$ en esta pregunta: ¿Qué es? $dx$ en la integración?

Answer 2

Una posibilidad es ver $dx$ como forma diferencial . Entonces, la integración para las formas diferenciales está bien definida.

Answer 3

Hay varias formas de ver el $dx$ . Como ha señalado Seirios, puede ser una forma diferencial, que es la forma habitual de que "tenga sentido", pero a menudo se define simplemente como la notación de una integral. Integrar una función $f$ con alguna medida $\mu$ puede describirse mediante la notación $\int f d\mu$ y cuando la medida utilizada es la medida de Lebesgue es habitual sustituir $d\mu$ con $dx$ . De este modo, la notación "tiene sentido" porque está bien definida, pero la $dx$ no tiene ningún significado sin el contexto explícito de la integral.

$\frac{dy}{dx}$ significa algo totalmente diferente, que es el derivado de $y$ con respecto a $x$ . La reutilización de los símbolos, y el hecho de que $\frac{dy}{dx}$ parece una fracción es sólo porque los símbolos se usaban mucho antes de que se inventara el formalismo apropiado para que el cálculo tuviera sentido de forma rigurosa, y en ese momento no había vuelta atrás.

Answer 4

Recuerda que, desde una perspectiva histórica, el cálculo diferencial se desarrolló primero desde el punto de vista de la "física", es decir, $\int f(x) dx$ se pensó originalmente como una suma (el $\int$ es en realidad un $s$ ): $$\sum f(x_i)\Delta x$$ Del mismo modo, la regla de la cadena tiene mucho sentido si se utiliza como una fracción, y ese era su significado original. El problema es que cuando se intenta asentar las matemáticas sobre una base rigurosa, ya no se pueden utilizar las definiciones "intuitivas" originales. Estos métodos "físicos" nos ayudan a pensar en el significado de las definiciones, pero no podemos utilizarlos en las pruebas matemáticas.